Reforço: Análise Combinatória e Probabilidade

Revisando e Aprofundando Conceitos com Exercícios Extras

Autor

Márcio Nicolau

Introdução e Objetivos

Nas aulas anteriores, exploramos os fundamentos da Análise Combinatória, com foco em Permutação e Arranjo, e demos os primeiros passos no universo da Probabilidade, definindo espaço amostral e eventos. Esta aula de reforço tem como objetivo consolidar esses conhecimentos, apresentando um novo e fundamental conceito – a Combinação – e resolvendo exercícios que integram as duas áreas. A capacidade de quantificar o número de possibilidades em cenários de incerteza é crucial para o cálculo preciso de probabilidades, essencial na estatística e na ciência de dados.

Objetivos de Aprendizagem

Ao final desta aula de reforço, você será capaz de:

  • Revisar e aplicar os princípios fundamentais de contagem, permutação e arranjo.
  • Compreender e aplicar o conceito de combinação, distinguindo-o de arranjo e permutação.
  • Revisar e aplicar os conceitos de experimento aleatório, espaço amostral e eventos.
  • Utilizar os métodos de contagem (permutação, arranjo, combinação) para determinar o número de resultados em um espaço amostral e em eventos.
  • Calcular probabilidades de eventos usando a abordagem clássica, aplicando as regras da adição quando necessário.
  • Resolver problemas complexos que exigem a integração da análise combinatória com o cálculo de probabilidades.

Revisão da Análise Combinatória: As Ferramentas de Contagem

A análise combinatória nos oferece métodos sistemáticos para contar o número de maneiras de organizar ou selecionar itens.

Princípios Fundamentais de Contagem

  • Princípio Aditivo: Usado para tarefas mutuamente exclusivas. Se uma tarefa pode ser feita de \(m\) maneiras e outra de \(n\) maneiras, e elas não podem ser feitas simultaneamente, o total é \(m + n\).

  • Princípio Multiplicativo: Usado para sequências de tarefas independentes. Se a primeira tarefa tem \(m\) maneiras e a segunda tem \(n\) maneiras (para cada uma das \(m\)), o total é \(m \times n\).

Permutação: A Ordem Importa (Todos os Itens)

Permutação refere-se à organização de um conjunto de itens. A ordem dos elementos é crucial.

Permutação Simples

Número de maneiras de organizar \(n\) objetos distintos. [B@BussabMorettin2017 p. 43] Fórmula: \(P_n = n!\)

Exemplo: Quantas filas podem ser formadas com 4 pessoas?

\(P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\) filas.

Permutação com Repetição

Número de permutações distintas de \(n\) objetos, onde \(n_1\) são de um tipo, \(n_2\) de outro, etc. (Bussab; Morettin, 2017, p. 45)

Fórmula: \(P_n^{n_1, n_2, \dots, n_k} = \frac{n!}{n_1! n_2! \dots n_k!}\)

Exemplo: Quantos anagramas da palavra “BANANA”? (\(n=6\), ‘A’ repete 3x, ‘N’ repete 2x)

\(\frac{6!}{3!2!} = \frac{720}{(6)(2)} = \frac{720}{12} = 60\) anagramas.

Arranjo Simples: A Ordem Importa (Subconjunto de Itens)

Número de maneiras de selecionar \(k\) objetos de \(n\) objetos distintos e organizá-los, onde a ordem de seleção é importante. (Bussab; Morettin, 2017, p. 44)

Fórmula: \(A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}\)

Exemplo: De quantas maneiras 5 alunos podem ocupar as 3 primeiras cadeiras de uma fila?

\(A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60\) maneiras.

Combinação Simples: A Ordem NÃO Importa (Subconjunto de Itens)

A combinação simples é usada quando queremos selecionar \(k\) objetos de um total de \(n\) objetos distintos, e a ordem de seleção NÃO é importante. Por exemplo, escolher um grupo de pessoas para uma comissão. A comissão {João, Maria} é a mesma que {Maria, João}. (Bussab; Morettin, 2017, p. 46)

Fórmula: \(C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)

O símbolo \(\binom{n}{k}\) é lido como “n escolhe k” ou “n sobre k”.

Exemplo: Quantas comissões de 3 alunos podem ser formadas a partir de um grupo de 5 alunos?

Aqui, a ordem dos alunos na comissão não importa. \(C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10\) comissões.

Exemplo de Código Combinação Simples

import math
from itertools import combinations


def combinacao_simples(n, k):
    """Calcula a combinação simples de n elementos tomados k a k."""
    if k < 0 or k > n:
        return 0
    # C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)
    return math.factorial(n) // (math.factorial(k) * math.factorial(n - k))


# Exemplo: Comissões de 3 alunos de um grupo de 5
n_alunos = 5
k_membros = 3
resultado_combinacao = combinacao_simples(n_alunos, k_membros)
print(
    f"Número de comissões de {k_membros} alunos de um grupo de {n_alunos}: {resultado_combinacao}"
)

# Listando as combinações (para visualização)
alunos = ["A", "B", "C", "D", "E"]
todas_combinacoes = list(combinations(alunos, k_membros))
print(f"Todas as combinações de {k_membros} alunos: {todas_combinacoes}")
print(f"Total de combinações listadas: {len(todas_combinacoes)}")
# install.packages("gtools")
library(gtools)

combinacao_simples <- function(n, k) {
  if (k < 0 || k > n) {
    return(0)
  }
  # C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)
  return(factorial(n) / (factorial(k) * factorial(n - k)))
}

# Exemplo: Comissões de 3 alunos de um grupo de 5
n_alunos <- 5
k_membros <- 3
resultado_combinacao <- combinacao_simples(n_alunos, k_membros)
cat(sprintf("Número de comissões de %d alunos de um grupo de %d: %d\n", k_membros, n_alunos, resultado_combinacao))

# Listando as combinações (para visualização)
alunos <- c('A', 'B', 'C', 'D', 'E')
todas_combinacoes <- combinations(n = n_alunos, r = k_membros, v = alunos)
print("Todas as combinações de alunos:")
print(todas_combinacoes)
cat(sprintf("Total de combinações listadas: %d\n", nrow(todas_combinacoes)))

Diagrama de Fluxo de Decisão (Revisado)

Para auxiliar na distinção entre Permutação, Arranjo e Combinação:

graph TD
    A[Problema de Contagem] --> B{A ordem dos elementos importa?};
    B -- Sim --> C{Você está usando TODOS os elementos do conjunto?};
    B -- Não --> D{Você está SELECIONANDO um subconjunto, e a ordem NÃO importa?};
    C -- Sim --> E[Permutação Simples];
    C -- Não --> F[Arranjo Simples];
    D -- Sim --> G[Combinação Simples];
    style A fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px;
    style E fill:#afa,stroke:#333,stroke-width:2px;
    style F fill:#afa,stroke:#333,stroke-width:2px;
    style G fill:#afa,stroke:#333,stroke-width:2px;
Figura 1: Diagrama de Fluxo de Decisão

(Para permutação com repetição, a distinção é uma ramificação de Permutação Simples: “Há elementos repetidos?” -> “Sim” -> Permutação com Repetição)

Revisão dos Conceitos de Probabilidade

Probabilidade é a quantificação da chance de um evento ocorrer.

Experimentos Aleatórios e Espaço Amostral

  • Experimento Aleatório: Processo com resultados incertos, mas conhecidos de antemão (ex: lançamento de dado).

  • Espaço Amostral (\(\Omega\) ou \(S\)): O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. (Ex: Para um dado, \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)).

Eventos e Suas Operações

  • Evento: Qualquer subconjunto do espaço amostral.
  • Evento Simples: Um único resultado do espaço amostral.
  • Evento Composto: Dois ou mais resultados.
  • União (\(A \cup B\)): A ou B ocorre.
  • Interseção (\(A \cap B\)): A e B ocorrem simultaneamente.
  • Complemento (\(A^c\) ou \(\bar{A}\)): A não ocorre.
  • Eventos Mutuamente Exclusivos (ou Disjuntos): \(A \cap B = \emptyset\) (não podem ocorrer juntos).

Probabilidade Clássica e Propriedades

Para resultados equiprováveis: (Bussab; Morettin, 2017, p. 57)

Fórmula: \(P(E) = \frac{\text{ Resultados favoráveis ao evento E} (n_E)}{\text{ Resultados possíveis no espaço amostral (N)}}\)

Propriedades:

  1. \(0 \le P(E) \le 1\) para qualquer evento \(E\).
  2. \(P(\Omega) = 1\) (probabilidade do evento certo).
  3. \(P(\emptyset) = 0\) (probabilidade do evento impossível).
  4. \(P(E^c) = 1 - P(E)\).

Regras da Adição de Probabilidades

  • Para eventos Mutuamente Exclusivos: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)

  • Para eventos Não Mutuamente Exclusivos: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)

Combinatória e Probabilidade: Aplicações Integradas

A verdadeira força da combinatória se revela no cálculo de probabilidades para cenários mais complexos, onde \(N\) e \(n_E\) não são óbvios e exigem métodos de contagem.

Exemplo Integrado: Em uma turma com 10 meninos e 8 meninas, 3 alunos serão selecionados aleatoriamente para representar a turma em um evento.

  1. Qual a probabilidade de que os 3 alunos selecionados sejam meninos?
  2. Qual a probabilidade de que sejam 2 meninos e 1 menina?
DicaSolução

Solução:

  • Total de alunos: \(10 + 8 = 18\).
  • Vamos selecionar 3 alunos. A ordem da seleção não importa para formar o grupo. Portanto, usaremos Combinação.

Espaço Amostral (\(N\)): Número total de maneiras de selecionar 3 alunos de 18.

\(N = C_{18}^3 = \frac{18!}{3!(18-3)!} = \frac{18!}{3!15!} = \frac{18 \times 17 \times 16}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 17 \times 16 = 816\) maneiras.

  1. Evento E1: “Os 3 alunos selecionados são meninos”
  • Número de meninos = 10. Queremos selecionar 3 meninos.
  • \(n_{E1} = C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120\) maneiras.
  • \(P(E1) = \frac{n_{E1}}{N} = \frac{120}{816} \approx 0.147\)
  1. Evento E2: “2 meninos e 1 menina”
  • Número de maneiras de selecionar 2 meninos de 10: \(C_{10}^2 = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45\) maneiras.
  • Número de maneiras de selecionar 1 menina de 8: \(C_8^1 = \frac{8!}{1!7!} = 8\) maneiras.
  • Pelo Princípio Multiplicativo (selecionar meninos E meninas): \(n_{E2} = C_{10}^2 \times C_8^1 = 45 \times 8 = 360\) maneiras.
  • \(P(E2) = \frac{n_{E2}}{N} = \frac{360}{816} \approx 0.441\)

Exemplo de Código Problema Integrado

import math
from itertools import combinations

def calcular_combinacao(n, k):
    return math.factorial(n) // (math.factorial(k) * math.factorial(n - k))

# Dados do problema
total_alunos = 18
num_meninos = 10
num_meninas = 8
selecionar = 3

# --- Espaço Amostral (N) ---
N = calcular_combinacao(total_alunos, selecionar)
print(f"Total de maneiras de selecionar 3 alunos (N): {N}")

# --- Evento E1: 3 meninos ---
n_e1 = calcular_combinacao(num_meninos, selecionar)
prob_e1 = n_e1 / N
print(f"Maneiras de selecionar 3 meninos (n_E1): {n_e1}")
print(f"P(3 meninos) = {prob_e1:.3f}")

# --- Evento E2: 2 meninos e 1 menina ---
n_e2_meninos = calcular_combinacao(num_meninos, 2)
n_e2_meninas = calcular_combinacao(num_meninas, 1)
n_e2 = n_e2_meninos * n_e2_meninas # Princípio Multiplicativo
prob_e2 = n_e2 / N
print(f"Maneiras de selecionar 2 meninos e 1 menina (n_E2): {n_e2}")
print(f"P(2 meninos e 1 menina) = {prob_e2:.3f}")
library(gtools) # Para usar a função combinations se preferir, ou definir a função manualmente

calcular_combinacao <- function(n, k) {
  return(factorial(n) / (factorial(k) * factorial(n - k)))
}

# Dados do problema
total_alunos <- 18
num_meninos <- 10
num_meninas <- 8
selecionar <- 3

# --- Espaço Amostral (N) ---
N <- calcular_combinacao(total_alunos, selecionar)
cat(sprintf("Total de maneiras de selecionar %d alunos (N): %d\n", selecionar, N))

# --- Evento E1: 3 meninos ---
n_e1 <- calcular_combinacao(num_meninos, selecionar)
prob_e1 <- n_e1 / N
cat(sprintf("Maneiras de selecionar %d meninos (n_E1): %d\n", selecionar, n_e1))
cat(sprintf("P(%d meninos) = %.3f\n", selecionar, prob_e1))

# --- Evento E2: 2 meninos e 1 menina ---
n_e2_meninos <- calcular_combinacao(num_meninos, 2)
n_e2_meninas <- calcular_combinacao(num_meninas, 1)
n_e2 <- n_e2_meninos * n_e2_meninas # Princípio Multiplicativo
prob_e2 <- n_e2 / N
cat(sprintf("Maneiras de selecionar 2 meninos e 1 menina (n_E2): %d\n", n_e2))
cat(sprintf("P(2 meninos e 1 menina) = %.3f\n", prob_e2))

Verificação de Aprendizagem

Resolva os problemas abaixo, identificando o método de contagem apropriado (permutação, arranjo ou combinação) e aplicando-o para calcular as probabilidades solicitadas.

  1. Formação de Comitê:

    Em um departamento de 12 professores, sendo 7 homens e 5 mulheres, um comitê de 4 professores será formado.

    1. De quantas maneiras diferentes o comitê pode ser formado?
    2. Qual a probabilidade de que o comitê seja composto por 2 homens e 2 mulheres?
    3. Qual a probabilidade de que o comitê tenha apenas homens?
    4. Qual a probabilidade de que o comitê tenha pelo menos uma mulher?

  • Total de professores \(n=12\) (7 homens, 5 mulheres). Comitê de \(k=4\). A ordem não importa \(\implies\) Combinação.

    1. Número total de maneiras de formar o comitê (\(N\)):

      \(N = C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495\) maneiras.

    2. Probabilidade de 2 homens e 2 mulheres (Evento E1):

      • Número de maneiras de escolher 2 homens de 7: \(C_7^2 = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2} = 21\).
      • Número de maneiras de escolher 2 mulheres de 5: \(C_5^2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10\).
      • \(n_{E1} = C_7^2 \times C_5^2 = 21 \times 10 = 210\).
      • \(P(E1) = \frac{210}{495} \approx 0.424\)

    3. Probabilidade de apenas homens (Evento E2):

      • Número de maneiras de escolher 4 homens de 7: \(C_7^4 = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35\).
      • \(n_{E2} = 35\).
      • \(P(E2) = \frac{35}{495} \approx 0.071\)

    4. Probabilidade de pelo menos uma mulher (Evento E3):

      “Pelo menos uma mulher” é o complemento de “nenhuma mulher” (ou “apenas homens”). \(P(\text{pelo menos uma mulher}) = 1 - P(\text{apenas homens})\). \(P(E3) = 1 - P(E2) = 1 - \frac{35}{495} = \frac{460}{495} \approx 0.929\)

  1. Números de Telefone:

    Considere números de telefone de 8 dígitos, excluindo o prefixo (DDD e DDI). O primeiro dígito não pode ser zero.

    1. Quantos números de telefone distintos podem ser formados se a repetição de dígitos é permitida?
    2. Quantos números de telefone distintos podem ser formados se a repetição de dígitos NÃO é permitida?
    3. Qual a probabilidade de um número de telefone aleatório (com repetição permitida) ter todos os dígitos pares?

  • 8 dígitos. Primeiro dígito não pode ser zero (9 opções). Dígitos restantes (0-9, 10 opções).

    1. Repetição de dígitos permitida: Princípio Multiplicativo.

      • 1º dígito: 9 opções (1 a 9)
      • 2º ao 8º dígito: 10 opções cada (0 a 9)
      • Total = \(9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 9 \times 10^7 = 90,000,000\) números.

    2. Repetição de dígitos NÃO permitida: Arranjo (para os dígitos restantes, considerando o primeiro).

      • 1º dígito: 9 opções (1 a 9).
      • 2º dígito: 9 opções restantes (10 total - 1 já usado).
      • 3º dígito: 8 opções restantes.
      • …
      • 8º dígito: 3 opções restantes.
      • Total = \(9 \times A_9^7 = 9 \times \frac{9!}{(9-7)!} = 9 \times \frac{9!}{2!} = 9 \times (9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3) = 9 \times 181,440 = 1,632,960\) números.

    3. Probabilidade de um número de telefone aleatório (com repetição permitida) ter todos os dígitos pares?

      • Espaço Amostral (\(N\)): \(9 \times 10^7\) (do item a).
      • Evento E1: “Todos os dígitos são pares”.
        • Dígitos pares: {0, 2, 4, 6, 8} (5 opções).
        • 1º dígito (não pode ser 0, mas deve ser par): {2, 4, 6, 8} (4 opções).
        • 2º ao 8º dígito (podem ser qualquer par): {0, 2, 4, 6, 8} (5 opções cada).
        • \(n_{E1} = 4 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 4 \times 5^7 = 4 \times 78,125 = 312,500\) números.
      • \(P(E1) = \frac{312,500}{90,000,000} \approx 0.00347\)

  1. Ordem de Chegada:

    Em uma corrida com 6 corredores (A, B, C, D, E, F), de quantas maneiras diferentes os 3 primeiros lugares podem ser ocupados? Qual a probabilidade de o corredor A chegar em primeiro, B em segundo e C em terceiro?

  • Total de corredores \(n=6\). Os 3 primeiros lugares \(\implies\) ordem importa \(\implies\) Arranjo.

    1. Número de maneiras diferentes que os 3 primeiros lugares podem ser ocupados (\(N\)):

      \(N = A_6^3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 6 \times 5 \times 4 = 120\) maneiras.

    2. Probabilidade de A chegar em 1º, B em 2º e C em 3º (Evento E1):

      • Existe apenas 1 maneira de esse evento ocorrer: (A, B, C).
      • \(n_{E1} = 1\).
      • \(P(E1) = \frac{1}{120} \approx 0.00833\)

  1. Cartas de Baralho:

    Um baralho de 52 cartas é bem embaralhado. Duas cartas são retiradas sem reposição.

    1. Qual a probabilidade de que ambas as cartas sejam Ases?
    2. Qual a probabilidade de que uma carta seja um Ás e a outra seja um Rei (em qualquer ordem)?

  • Baralho de 52 cartas. Duas cartas retiradas sem reposição. A ordem implica na contagem do espaço amostral se usarmos arranjo, ou não importa se usarmos combinação para as mãos de duas cartas. Vamos usar a lógica de seleção sequencial para manter a consistência com a “retirada de cartas”.

    • Espaço Amostral (\(N\)): Número de maneiras de retirar 2 cartas de 52, onde a ordem importa (1ª carta, 2ª carta).

      \(N = A_{52}^2 = 52 \times 51 = 2652\). (Alternativamente, se a ordem não importa, \(C_{52}^2 = \frac{52 \times 51}{2} = 1326\) - mas isso exigiria ajustar a contagem dos eventos também, o arranjo é mais direto para “qual a probabilidade da primeira ser X e a segunda ser Y” ou “ambas serem X”).

    1. Probabilidade de que ambas as cartas sejam Ases (Evento E1):

      • Há 4 Ases no baralho.
      • Maneiras de retirar o 1º Ás: 4 opções.
      • Maneiras de retirar o 2º Ás (restam 3 Ases): 3 opções.
      • \(n_{E1} = 4 \times 3 = 12\) maneiras.
      • \(P(E1) = \frac{12}{2652} = \frac{1}{221} \approx 0.00452\)

    2. Probabilidade de que uma carta seja um Ás e a outra seja um Rei (em qualquer ordem) (Evento E2):

      • Cenário 1: 1ª Ás E 2ª Rei.
        • Maneiras de retirar 1º Ás: 4 opções.
        • Maneiras de retirar 2º Rei: 4 opções.
        • Total para Cenário 1: \(4 \times 4 = 16\).
      • Cenário 2: 1ª Rei E 2ª Ás.
        • Maneiras de retirar 1º Rei: 4 opções.
        • Maneiras de retirar 2º Ás: 4 opções.
        • Total para Cenário 2: \(4 \times 4 = 16\).
      • \(n_{E2} = 16 + 16 = 32\) maneiras (Princípio Aditivo).
      • \(P(E2) = \frac{32}{2652} = \frac{8}{663} \approx 0.01207\)

Referências Bibliográficas

BUSSAB, Luiz O. de M.; MORETTIN, Pedro A. Estatı́stica Básica. 9. ed. São Paulo: Saraiva, 2017.