Fundamentos da Análise Combinatória: Permutação e Arranjo

Compreendendo os Princípios de Contagem para Cenários de Probabilidade

Autor

Márcio Nicolau

Data de Publicação

13 de agosto de 2025

Introdução à Análise Combinatória

A análise combinatória é um ramo da matemática que estuda os métodos de contagem. Sua importância na estatística e na ciência de dados reside na capacidade de quantificar o número de maneiras distintas de organizar ou selecionar elementos de um conjunto, o que é fundamental para o cálculo de probabilidades. Antes de determinar a probabilidade de um evento, muitas vezes precisamos saber quantos resultados possíveis existem e quantos deles correspondem ao evento de interesse.

Este material visa apresentar os conceitos fundamentais de permutação e arranjo, bem como os princípios básicos de contagem, que são a base para a compreensão de cenários probabilísticos mais complexos.

Objetivo de Aprendizagem

Ao final desta aula, você será capaz de:

  • Compreender e aplicar os princípios fundamentais de contagem (aditivo e multiplicativo).
  • Distinguir e aplicar os conceitos de permutação (simples e com repetição) em diferentes cenários.
  • Distinguir e aplicar os conceitos de arranjo (simples) em diferentes cenários.
  • Resolver problemas de contagem que envolvem permutação e arranjo.
  • Conectar os conceitos de contagem ao cálculo de probabilidades.

Princípios Fundamentais de Contagem

Os princípios de contagem são as ferramentas básicas para resolver problemas combinatórios.

Princípio Aditivo

O Princípio Aditivo afirma que se uma tarefa pode ser realizada de \(m\) maneiras e uma segunda tarefa pode ser realizada de \(n\) maneiras, e se essas duas tarefas não podem ser realizadas simultaneamente (são mutuamente exclusivas), então há \(m + n\) maneiras de realizar uma ou outra tarefa.

DicaExemplo

Um estudante pode escolher um projeto de pesquisa em três áreas distintas: biologia (5 opções de temas), química (4 opções de temas) ou física (3 opções de temas). Quantas opções de projetos o estudante tem ao todo?

  1. Como o estudante escolherá apenas uma área, as escolhas são mutuamente exclusivas.
  2. Número total de opções = Opções de Biologia + Opções de Química + Opções de Física
  3. Número total de opções = \(5 + 4 + 3 = 12\) opções.

Princípio Multiplicativo (ou Princípio Fundamental da Contagem)

O Princípio Multiplicativo afirma que se uma decisão pode ser tomada de \(m\) maneiras e, para cada uma dessas maneiras, uma segunda decisão pode ser tomada de \(n\) maneiras, então o número total de maneiras de tomar as duas decisões é \(m \times n\). Este princípio pode ser estendido para qualquer número de decisões sequenciais.

DicaExemplo

Uma lanchonete oferece 3 tipos de pão, 4 tipos de recheio e 2 tipos de molho. Quantos tipos diferentes de sanduíches podem ser montados escolhendo um de cada item?

Para montar um sanduíche, o estudante toma 3 decisões sequenciais:

  1. Escolher o pão: 3 maneiras.
  2. Escolher o recheio: 4 maneiras.
  3. Escolher o molho: 2 maneiras.

Número total de sanduíches = \(3 \times 4 \times 2 = 24\) tipos diferentes de sanduíches.

Exemplo de Árvore de Decisão da Montagem de Sanduíches

Para ilustrar o Princípio Multiplicativo:

graph TD
    A[Início] --> B{Escolher Pão};
    B --> C1[Pão 1];
    B --> C2[Pão 2];
    B --> C3[Pão 3];
    C1 --> D1{Escolher Recheio};
    C2 --> D2{Escolher Recheio};
    C3 --> D3{Escolher Recheio};
    D1 --> E1_1[Recheio 1];
    D1 --> E1_2[Recheio 2];
    D1 --> E1_3[Recheio 3];
    D1 --> E1_4[Recheio 4];
    E1_1 --> F1_1_1[Molho 1];
    E1_1 --> F1_1_2[Molho 2];
    F1_1_1 --> G1_1_1[Fim];
    F1_1_2 --> G1_1_2[Fim];
    subgraph Pao1 [Pão 1]
        D1
    end
    subgraph Pao2 [Pão 2]
        D2
    end
    subgraph Pao3 [Pão 3]
        D3
    end
    style A fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
    style G1_1_1 fill:#afa,stroke:#333,stroke-width:2px
    style G1_1_2 fill:#afa,stroke:#333,stroke-width:2px
Figura 1: Árvore de Decisão da Montagem de Sanduíches

(Note: O diagrama completo para 24 combinações seria muito grande. Este é um exemplo simplificado que mostra a estrutura de como as escolhas se ramificam. Cada caminho do “Início” ao “Fim” representa uma combinação única.)

Permutação

Permutação refere-se ao número de maneiras de organizar um conjunto de itens em uma ordem específica. A ordem dos elementos é importante.

Permutação Simples

A permutação simples é usada quando queremos saber o número de maneiras de organizar \(n\) objetos distintos. A fórmula para a permutação de \(n\) objetos é \(P_n = n!\) (n fatorial), onde \(n! = n \times (n-1) \times \dots \times 2 \times 1\). Por definição, \(0! = 1\).

Fórmula: \(P_n = n!\)

DicaExemplo

De quantas maneiras distintas 3 livros diferentes podem ser organizados em uma prateleira?

  1. Temos 3 livros distintos. A ordem importa.
  2. \(P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\) maneiras.

As 6 maneiras seriam:

  • (Livro A, Livro B, Livro C)
  • (Livro A, Livro C, Livro B)
  • (Livro B, Livro A, Livro C)
  • (Livro B, Livro C, Livro A)
  • (Livro C, Livro A, Livro B)
  • (Livro C, Livro B, Livro A)

Exemplo de Código em Python (Permutação Simples)

Código Python
import math
from itertools import permutations
def permutacao_simples(n):
    """Calcula a permutação simples de n elementos."""
    return math.factorial(n)
# Exemplo: 3 livros na prateleira
n_livros = 3
resultado_permutacao = permutacao_simples(n_livros)
print(f"Número de maneiras de organizar {n_livros} livros: {resultado_permutacao}")
# Listando as permutações (para visualização)
itens = ["A", "B", "C"]
todas_permutacoes = list(permutations(itens))
print(f"Todas as permutações de {itens}: {todas_permutacoes}")
print(f"Total de permutações listadas: {len(todas_permutacoes)}")

Exemplo de Código em R (Permutação Simples)

Código R
# Instalar e carregar o pacote 'gtools' se ainda não tiver
# install.packages("gtools")
library(gtools)
permutacao_simples <- function(n) {
  return(factorial(n))
}
# Exemplo: 3 livros na prateleira
n_livros <- 3
resultado_permutacao <- permutacao_simples(n_livros)
cat(sprintf(
  "Número de maneiras de organizar %d livros: %d\n",
  n_livros,
  resultado_permutacao
))
Número de maneiras de organizar 3 livros: 6
Código R
# Listando as permutações (para visualização)
itens <- c('A', 'B', 'C')
todas_permutacoes <- permutations(
  n = length(itens),
  r = length(itens),
  v = itens
)
print(todas_permutacoes)
     [,1] [,2] [,3]
[1,] "A"  "B"  "C" 
[2,] "A"  "C"  "B" 
[3,] "B"  "A"  "C" 
[4,] "B"  "C"  "A" 
[5,] "C"  "A"  "B" 
[6,] "C"  "B"  "A"
Código R
cat(sprintf("Total de permutações listadas: %d\n", nrow(todas_permutacoes)))
Total de permutações listadas: 6

Permutação com Repetição (ou Permutação de Itens Nem Todos Distintos)

Quando temos \(n\) objetos, onde \(n_1\) são de um tipo, \(n_2\) são de outro tipo, …, \(n_k\) são de um k-ésimo tipo, e \(n_1 + n_2 + \dots + n_k = n\), o número de permutações distintas é dado pela fórmula:

Fórmula: \(P_n^{n_1, n_2, \dots, n_k} = \frac{n!}{n_1! n_2! \dots n_k!}\)

Exemplo: Quantos anagramas (arranjos de letras) distintos podem ser formados com as letras da palavra “ARARA”?

A palavra “ARARA” tem \(n=5\) letras. Temos:

  • ‘A’: 3 repetições (\(n_1 = 3\))
  • ‘R’: 2 repetições (\(n_2 = 2\))

Número de anagramas = \(\frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10\) anagramas.

Exemplo de Código em Python (Permutação com Repetição)

Código Python
import math
from collections import Counter

def permutacao_com_repeticao(palavra):
    """Calcula o número de permutações distintas de uma string com repetições."""
    n = len(palavra)
    contagem_letras = Counter(palavra)
    denominador = 1
    for count in contagem_letras.values():
        denominador *= math.factorial(count)

    return math.factorial(n) / denominador

# Exemplo: palavra "ARARA"
palavra_exemplo = "ARARA"
resultado_repeticao = permutacao_com_repeticao(palavra_exemplo)
print(
    f"Número de anagramas distintos da palavra '{palavra_exemplo}': {int(resultado_repeticao)}"
)

Exemplo de Código em R (Permutação com Repetição)

Código R
permutacao_com_repeticao <- function(palavra) {
  n <- nchar(palavra)
  letras <- strsplit(palavra, "")[]

  # Contar as ocorrências de cada letra
  contagem_letras <- table(letras)

  denominador <- 1
  for (count in contagem_letras) {
    denominador <- denominador * factorial(count)
  }

  return(factorial(n) / denominador)
}

# Exemplo: palavra "ARARA"
palavra_exemplo <- "ARARA"
resultado_repeticao <- permutacao_com_repeticao(palavra_exemplo)
cat(sprintf(
  "Número de anagramas distintos da palavra '%s': %d\n",
  palavra_exemplo,
  as.integer(resultado_repeticao)
))
Número de anagramas distintos da palavra 'ARARA': 10
Nota

Extra: atualizar os códigos acima para exibir os anagramas.

Arranjo

Arranjo refere-se ao número de maneiras de selecionar e organizar um subconjunto de itens de um conjunto maior, onde a ordem dos elementos selecionados é importante.

Arranjo Simples

O arranjo simples é usado quando selecionamos \(k\) objetos de um total de \(n\) objetos distintos, e a ordem de seleção é importante.

Fórmula: \(A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}\)

Exemplo: Em uma corrida com 8 atletas, de quantas maneiras diferentes os três primeiros lugares (ouro, prata, bronze) podem ser preenchidos?

Temos \(n=8\) atletas e queremos selecionar \(k=3\) para os três primeiros lugares, onde a ordem importa (ser ouro é diferente de ser prata). \(A_8^3 = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{5!} = 8 \times 7 \times 6 = 336\) maneiras.

Exemplo de Código em Python (Arranjo Simples)

Código Python
import math
from itertools import permutations  # Permutations com 'r' argumento para arranjos

def arranjo_simples(n, k):
    """Calcula o arranjo simples de n elementos tomados k a k."""
    if k > n:
        return 0  # Não é possível escolher mais itens do que o total disponível
    return math.factorial(n) // math.factorial(n - k)

# Exemplo: 8 atletas, 3 primeiros lugares
n_atletas = 8
k_lugares = 3
resultado_arranjo = arranjo_simples(n_atletas, k_lugares)
print(
    f"Número de maneiras de preencher os {k_lugares} primeiros lugares com {n_atletas} atletas: {resultado_arranjo}"
)
# Listando os arranjos (para visualização, com itertools.permutations)
atletas = ["A1", "A2", "A3", "A4", "A5", "A6", "A7", "A8"]
primeiros_lugares = list(permutations(atletas, k_lugares))
# Note: A lista completa seria muito longa para imprimir, então mostramos um subconjunto.
print(
    f"Exemplo de 5 arranjos dos {k_lugares} primeiros lugares: {primeiros_lugares[:5]}..."
)
print(f"Total de arranjos listados (mesmo que o calculado): {len(primeiros_lugares)}")

Exemplo de Código em R (Arranjo Simples)

Código R
# install.packages("gtools")
library(gtools)
arranjo_simples <- function(n, k) {
  if (k > n) {
    return(0)
  }
  return(factorial(n) / factorial(n - k))
}
# Exemplo: 8 atletas, 3 primeiros lugares
n_atletas <- 8
k_lugares <- 3
resultado_arranjo <- arranjo_simples(n_atletas, k_lugares)
cat(sprintf(
  "Número de maneiras de preencher os %d primeiros lugares com %d atletas: %d\n",
  k_lugares,
  n_atletas,
  resultado_arranjo
))
Número de maneiras de preencher os 3 primeiros lugares com 8 atletas: 336
Código R
# Listando os arranjos (para visualização)
atletas <- c('A1', 'A2', 'A3', 'A4', 'A5', 'A6', 'A7', 'A8')
primeiros_lugares <- permutations(n = n_atletas, r = k_lugares, v = atletas)
# Note: A lista completa seria muito longa para imprimir, então mostramos um subconjunto.
print(head(primeiros_lugares, 5))
     [,1] [,2] [,3]
[1,] "A1" "A2" "A3"
[2,] "A1" "A2" "A4"
[3,] "A1" "A2" "A5"
[4,] "A1" "A2" "A6"
[5,] "A1" "A2" "A7"
Código R
cat(sprintf(
  "Total de arranjos listados (mesmo que o calculado): %d\n",
  nrow(primeiros_lugares)
))
Total de arranjos listados (mesmo que o calculado): 336

Distinção entre Permutação e Arranjo

A principal diferença entre permutação e arranjo reside na natureza da seleção:

  • Permutação: Lida com a organização de todos os elementos de um conjunto (ou subconjunto quando a permutação é de \(n\) objetos distintos tomados \(k\) a \(k\), que é equivalente ao arranjo), onde a ordem é crucial. Se você está reorganizando um conjunto completo, é uma permutação. Se você está escolhendo um subconjunto e a ordem importa, é um arranjo.
  • Arranjo: Lida com a seleção e organização de um subconjunto de elementos de um conjunto maior, onde a ordem também é crucial.

Um bom “macete” para diferenciar é:

  • A ordem importa?

    • SIM: É um Arranjo ou Permutação.

      • Você usa todos os itens disponíveis?

        • SIM: Permutação (simples ou com repetição).
        • NÃO (escolhe um subconjunto): Arranjo (simples).

    • NÃO: É uma Combinação (tópico de aula futura).

Diagrama de Fluxo de Decisão

graph TD
    A[Problema de Contagem] --> B{A ordem dos elementos importa?};
    B -- Sim --> C{Você está usando TODOS os elementos do conjunto?};
    B -- Não --> D[Combinação];
    C -- Sim --> E[Permutação];
    C -- Não --> F[Arranjo];
    E --> E1{Há elementos repetidos?};
    E1 -- Sim --> E2[Permutação com Repetição];
    E1 -- Não --> E3[Permutação Simples];
    F --> F1[Arranjo Simples];
    style A fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px;
    style D fill:#afa,stroke:#333,stroke-width:2px;
    style E2 fill:#afa,stroke:#333,stroke-width:2px;
    style E3 fill:#afa,stroke:#333,stroke-width:2px;
    style F1 fill:#afa,stroke:#333,stroke-width:2px;
Figura 2: Diagrama de Fluxo de Decisão

Aplicações em Probabilidade

Os princípios de contagem são a espinha dorsal para o cálculo de probabilidades, especialmente em espaços amostrais finitos e equiprováveis (onde cada resultado tem a mesma chance de ocorrer). A probabilidade de um evento \(E\) é frequentemente calculada como:

\(P(E) = \frac{\text{\# resultados favoráveis ao evento E}}{\text{\# resultados possíveis no espaço amostral}}\)

Onde o “# resultados favoráveis” e o “# resultados possíveis” são determinados usando os princípios de contagem (permutação, arranjo, e futuramente, combinação).

DicaExemplo

Três amigos (A, B, C) sentam-se aleatoriamente em 3 cadeiras. Qual a probabilidade de A sentar-se na primeira cadeira, B na segunda e C na terceira?

  1. Número total de resultados possíveis (Espaço Amostral): São 3 amigos em 3 cadeiras, e a ordem importa. Isso é uma permutação simples de 3 elementos: \(P_3 = 3! = 6\) maneiras.

  2. Número de resultados favoráveis ao evento (Evento E): O evento é ” A na \(1^a\), B na \(2^a\), C na \(3^a\) “. Existe apenas \(1\) maneira de isso acontecer: (A, B, C).

  3. Probabilidade: \(P(\text{A na } 1^a, \text{ B na } 2^a, \text{ C na } 3^a) = \frac{1}{6}\)

Este exemplo simples demonstra como os conceitos de contagem se aplicam diretamente ao cálculo de probabilidades.

Verificação de Aprendizagem

Resolva os problemas abaixo, identificando se é um caso de Permutação (simples ou com repetição) ou Arranjo (simples) e aplicando a fórmula correta.

  1. Senha de Banco: Um banco exige que as senhas dos caixas eletrônicos sejam formadas por 4 dígitos distintos. Quantas senhas diferentes podem ser criadas? (Dígitos de 0 a 9).

  • Tipo: Arranjo Simples. Temos \(n=10\) dígitos (0 a 9) e queremos selecionar \(k=4\) para a senha, onde a ordem importa e os dígitos são distintos.

  • Cálculo: \(A_{10}^4 = \frac{10!}{(10-4)!} = \frac{10!}{6!} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040\) senhas.

  1. Pódio Olímpico: Em uma final olímpica de natação com 10 nadadores, de quantas maneiras diferentes os atletas podem ganhar as medalhas de ouro, prata e bronze?
  • Tipo: Arranjo Simples. Temos \(n=10\) nadadores e queremos selecionar \(k=3\) para as medalhas, onde a ordem importa (ouro é diferente de prata).
  • Cálculo: \(A_{10}^3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720\) maneiras.
  1. Formação de Palavras: Quantos anagramas distintos podem ser formados com as letras da palavra “MATEMATICA”?

  • Tipo: Permutação com Repetição. A palavra “MATEMATICA” tem \(n=10\) letras.

    • Detalhes:

      • M: 2 vezes (\(n_M = 2\))
      • A: 3 vezes (\(n_A = 3\))
      • T: 2 vezes (\(n_T = 2\))
      • E: 1 vez
      • I: 1 vez
      • C: 1 vez

  • Cálculo: \(P_{10}^{2,3,2,1,1,1} = \frac{10!}{2!3!2!1!1!1!} = \frac{3.628.800}{(2)(6)(2)} = \frac{3.628.800}{24} = 151.200\) anagramas.

  1. Ordem de Atendimento: Uma fila de espera em um consultório médico tem 5 pacientes. De quantas maneiras diferentes esses pacientes podem ser atendidos?
  • Tipo: Permutação Simples. Temos \(n=5\) pacientes e queremos organizar todos eles em uma fila.
  • Cálculo: \(P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\) maneiras.
  1. Placas de Carro - Simplificado: Considerando que as placas de carro antigas no Brasil eram formadas por 2 letras seguidas por 4 dígitos (ex: AB-1234), quantas placas distintas poderiam ser formadas se:
    1. As letras e os dígitos podem se repetir.
    2. As letras devem ser distintas, mas os dígitos podem se repetir. (Considere 26 letras no alfabeto e 10 dígitos).

  • Letras: 26 opções (A-Z)

  • Dígitos: 10 opções (0-9)

    1. As letras e os dígitos podem se repetir.

      • Tipo: Princípio Multiplicativo.
      • Cálculo: (Letra 1) \(\times\) (Letra 2) \(\times\) (Dígito 1) \(\times\) (Dígito 2) \(\times\) (Dígito 3) \(\times\) (Dígito 4) \(26 \times 26 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 26^2 \times 10^4 = 676 \times 10.000 = 6.760.000\) placas.

    2. As letras devem ser distintas, mas os dígitos podem se repetir.

      • Tipo: Para as letras, é Arranjo Simples (26 letras tomadas 2 a 2). Para os dígitos, é Princípio Multiplicativo.
      • Cálculo para Letras: \(A_{26}^2 = \frac{26!}{(26-2)!} = \frac{26!}{24!} = 26 \times 25 = 650\)
      • Cálculo para Dígitos: \(10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4 = 10.000\)
      • Total de Placas: \(650 \times 10.000 = 6.500.000\) placas.

Referências Bibliográficas

BUSSAB, Luiz O. de M.; MORETTIN, Pedro A. Estatı́stica Básica. 9. ed. São Paulo: Saraiva, 2017.
MAGALHÃES, Marcos N.; LIMA, Antonio C. P. de. Noções de Probabilidade e Estatı́stica. 7. ed. São Paulo: Edusp, 2013.
TRIOLA, Mario F. Introdução à Estatı́stica. 12. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017.