Distribuições de Probabilidade (Discretas e Contínuas)

Analisar e Aplicar as Principais Distribuições de Probabilidade em Problemas Reais

Autor

Márcio Nicolau

Data de Publicação

22 de outubro de 2025

Introdução e Objetivos

Nas aulas anteriores, estabelecemos a base da probabilidade, da análise combinatória, da estatística descritiva, da amostragem e da estimação. Agora, vamos explorar o coração da probabilidade: as Distribuições de Probabilidade. Uma distribuição de probabilidade descreve todos os valores possíveis que uma variável aleatória pode assumir e a probabilidade associada a cada um desses valores.

Compreender as distribuições de probabilidade é fundamental porque muitos fenômenos do mundo real podem ser modelados por elas. Isso nos permite não apenas descrever o comportamento de variáveis aleatórias, mas também fazer previsões, realizar inferências e tomar decisões em contextos de incerteza, desde a previsão de demanda até o controle de qualidade e a avaliação de riscos.

Nesta aula, diferenciaremos as distribuições discretas das contínuas e exploraremos as características, fórmulas e aplicações das mais importantes em cada categoria, utilizando Python e R para visualização e cálculo.

Objetivos de Aprendizagem

Ao final desta aula, você será capaz de:

  • Distinguir entre variáveis aleatórias discretas e contínuas.
  • Definir e interpretar Funções Massa de Probabilidade (FMP) e Funções Densidade de Probabilidade (FDP).
  • Caracterizar e aplicar as distribuições de Bernoulli, Binomial e Poisson para variáveis discretas.
  • Caracterizar e aplicar as distribuições Uniforme, Normal e Exponencial para variáveis contínuas.
  • Calcular probabilidades e gerar amostras a partir dessas distribuições usando Python e R.
  • Identificar a distribuição de probabilidade mais apropriada para modelar diferentes cenários do mundo real.

O Que São Distribuições de Probabilidade?

Uma distribuição de probabilidade é uma função matemática que descreve a probabilidade de diferentes resultados ou valores para uma variável aleatória. Em outras palavras, ela nos diz quais valores uma variável aleatória pode assumir e com que frequência (ou probabilidade) cada um deles ocorre.

Variáveis Aleatórias: Discretas vs. Contínuas

A natureza da variável aleatória determina o tipo de distribuição de probabilidade.

  • Variável Aleatória Discreta: Assume um número finito ou contável de valores. Geralmente são resultados de contagens.

    • Exemplos: Número de caras em 3 lançamentos de moeda (\(\{0, 1, 2, 3\}\)), número de carros que passam por um pedágio em uma hora (\(\{0, 1, 2, \dots\}\)).
    • Associada à Função Massa de Probabilidade (FMP).

  • Variável Aleatória Contínua: Assume um número infinito de valores dentro de um intervalo. Geralmente são resultados de medições.

    • Exemplos: Altura de uma pessoa, tempo de espera em uma fila, temperatura de um ambiente.
    • Associada à Função Densidade de Probabilidade (FDP).

Função Massa de Probabilidade (FMP) e Função Densidade de Probabilidade (FDP)

  • Função Massa de Probabilidade (FMP - \(P(X=x)\)): Para variáveis discretas, a FMP atribui uma probabilidade a cada valor específico que a variável pode assumir. A soma de todas as probabilidades é igual a 1.
  • Função Densidade de Probabilidade (FDP - \(f(x)\)): Para variáveis contínuas, a FDP não dá a probabilidade de um valor exato (pois a probabilidade de qualquer ponto específico é zero), mas sim a probabilidade de a variável cair dentro de um intervalo. A área sob a curva da FDP em um dado intervalo representa essa probabilidade, e a área total sob a curva é igual a 1.

Distribuições de Probabilidade Discretas

Distribuição de Bernoulli

A Distribuição de Bernoulli modela um experimento aleatório com apenas dois resultados possíveis: “sucesso” (com probabilidade \(p\)) e “fracasso” (com probabilidade \(1-p\)). É a base para a distribuição binomial. (Bussab; Morettin, 2017, p. 116)

  • Parâmetro: \(p\) (probabilidade de sucesso).

  • Variável Aleatória: \(X=1\) para sucesso, \(X=0\) para fracasso.

  • Função Massa de Probabilidade (FMP):

    \(P(X=x) = p^x (1-p)^{1-x}\), para \(x \in \{0, 1\}\)

  • Média: \(E[X] = p\)

  • Variância: \(Var[X] = p(1-p)\)

Exemplo: Lançamento de uma moeda justa (sucesso = cara, \(p=0.5\)).

Exemplo: Distribuição de Bernoulli

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import bernoulli

p = 0.7  # Probabilidade de sucesso

# Calcule a FMP para x=0 e x=1
pmf_0 = bernoulli.pmf(0, p)
pmf_1 = bernoulli.pmf(1, p)

print(f"P(X=0) (fracasso) = {pmf_0:.2f}")
print(f"P(X=1) (sucesso) = {pmf_1:.2f}")

# Simulação de 10 ensaios de Bernoulli
simulacao_bernoulli = bernoulli.rvs(p, size=10)
print(f"\nSimulação de 10 ensaios de Bernoulli (p={p}): {simulacao_bernoulli}")

# Visualização da FMP
x_values =
pmf_values = [pmf_0, pmf_1]

plt.figure(figsize=(6, 4))
plt.bar(x_values, pmf_values, color=['red', 'green'], width=0.4)
plt.title(f'FMP da Distribuição de Bernoulli (p={p})')
plt.xlabel('Resultado (0=Fracasso, 1=Sucesso)')
plt.ylabel('Probabilidade')
plt.xticks(x_values)
plt.ylim(0, 1)
plt.grid(axis='y', linestyle='--', alpha=0.7)
plt.show()
library(ggplot2)

p <- 0.7 # Probabilidade de sucesso

# Calcule a FMP para x=0 e x=1
pmf_0 <- dbinom(0, size = 1, prob = p) # dbinom para Bernoulli (n=1)
pmf_1 <- dbinom(1, size = 1, prob = p)

cat(sprintf("P(X=0) (fracasso) = %.2f\n", pmf_0))
cat(sprintf("P(X=1) (sucesso) = %.2f\n", pmf_1))

# Simulação de 10 ensaios de Bernoulli
set.seed(42) # para reprodutibilidade
simulacao_bernoulli <- rbinom(10, size = 1, prob = p)
cat(sprintf("\nSimulação de 10 ensaios de Bernoulli (p=%.1f): %s\n", p, paste(simulacao_bernoulli, collapse = ", ")))

# Visualização da FMP
df_bernoulli <- data.frame(
  Resultado = factor(c(0, 1), labels = c("Fracasso", "Sucesso")),
  Probabilidade = c(pmf_0, pmf_1)
)

ggplot(df_bernoulli, aes(x = Resultado, y = Probabilidade, fill = Resultado)) +
  geom_bar(stat = "identity", width = 0.4) +
  labs(title = paste0('FMP da Distribuição de Bernoulli (p=', p, ')'),
       x = 'Resultado',
       y = 'Probabilidade') +
  scale_fill_manual(values = c("Fracasso" = "red", "Sucesso" = "green")) +
  ylim(0, 1) +
  theme_minimal() +
  theme(legend.position = "none")

Distribuição Binomial

A Distribuição Binomial modela o número de sucessos em uma sequência fixa de \(n\) ensaios de Bernoulli independentes e idênticos. (Bussab; Morettin, 2017, p. 116–118)

  • Parâmetros: \(n\) (número de ensaios), \(p\) (probabilidade de sucesso em um único ensaio).

  • Variável Aleatória: \(X = \text{número de sucessos}\), onde \(X \in \{0, 1, 2, \dots, n\}\).

  • Função Massa de Probabilidade (FMP):

    \(P(X=x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}\), para \(x = 0, 1, \dots, n\). (Onde \(\binom{n}{x} = \frac{n!}{x!(n-x)!}\) é o coeficiente binomial, número de combinações de \(n\) itens tomados \(x\) a \(x\)).

  • Média: \(E[X] = np\)

  • Variância: \(Var[X] = np(1-p)\)

Exemplo: Número de peças defeituosas em uma amostra de 10 peças, onde cada peça tem 5% de chance de ser defeituosa.

Exemplo: Distribuição Binomial

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import binom

n = 10  # Número de ensaios
p = 0.3 # Probabilidade de sucesso

# Calcule a probabilidade de obter exatamente 3 sucessos
pmf_3_sucessos = binom.pmf(3, n, p)
print(f"P(X=3) (exatamente 3 sucessos em {n} ensaios) = {pmf_3_sucessos:.3f}")

# Calcule a probabilidade acumulada (CDF) de obter até 3 sucessos
cdf_ate_3_sucessos = binom.cdf(3, n, p)
print(f"P(X<=3) (até 3 sucessos em {n} ensaios) = {cdf_ate_3_sucessos:.3f}")

# Simulação de 500 resultados de um experimento Binomial
simulacao_binomial = binom.rvs(n, p, size=500)
print(f"\nSimulação de 10 resultados de experimento Binomial (n={n}, p={p}): {simulacao_binomial[:10]}...")

# Visualização da FMP
x_values = np.arange(0, n + 1)
pmf_values = binom.pmf(x_values, n, p)

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.bar(x_values, pmf_values, color='skyblue', edgecolor='black')
plt.title(f'FMP da Distribuição Binomial (n={n}, p={p})')
plt.xlabel('Número de Sucessos')
plt.ylabel('Probabilidade')
plt.xticks(x_values)
plt.grid(axis='y', linestyle='--', alpha=0.7)
plt.show()
library(ggplot2)

n <- 10 # Número de ensaios
p <- 0.3 # Probabilidade de sucesso

# Calcule a probabilidade de obter exatamente 3 sucessos
pmf_3_sucessos <- dbinom(3, size = n, prob = p)
cat(sprintf("P(X=3) (exatamente 3 sucessos em %d ensaios) = %.3f\n", n, pmf_3_sucessos))

# Calcule a probabilidade acumulada (CDF) de obter até 3 sucessos
cdf_ate_3_sucessos <- pbinom(3, size = n, prob = p)
cat(sprintf("P(X<=3) (até 3 sucessos em %d ensaios) = %.3f\n", n, cdf_ate_3_sucessos))

# Simulação de 500 resultados de um experimento Binomial
set.seed(42) # para reprodutibilidade
simulacao_binomial <- rbinom(500, size = n, prob = p)
cat(sprintf("\nSimulação de 10 resultados de experimento Binomial (n=%d, p=%.1f): %s...\n", n, p, paste(head(simulacao_binomial, 10), collapse = ", ")))

# Visualização da FMP
x_values <- 0:n
pmf_values <- dbinom(x_values, size = n, prob = p)
df_binomial <- data.frame(Numero_Sucessos = x_values, Probabilidade = pmf_values)

ggplot(df_binomial, aes(x = Numero_Sucessos, y = Probabilidade)) +
  geom_bar(stat = "identity", fill = "skyblue", color = "black") +
  labs(title = paste0('FMP da Distribuição Binomial (n=', n, ', p=', p, ')'),
       x = 'Número de Sucessos',
       y = 'Probabilidade') +
  scale_x_continuous(breaks = x_values) +
  theme_minimal()

Distribuição de Poisson

A Distribuição de Poisson modela o número de ocorrências de um evento em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média constante e são independentes entre si. (Bussab; Morettin, 2017, p. 120)

  • Parâmetro: \(\lambda\) (lambda - taxa média de ocorrências no intervalo).

  • Variável Aleatória: \(X = \text{número de ocorrências}\), onde \(X \in \{0, 1, 2, \dots\}\).

  • Função Massa de Probabilidade (FMP):

    \(P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}\), para \(x = 0, 1, 2, \dots\). (\(e \approx 2.71828\) é a base do logaritmo natural).

  • Média: \(E[X] = \lambda\)

  • Variância: \(Var[X] = \lambda\)

Exemplo: Número de chamadas recebidas por um call center em 5 minutos, se a taxa média é de 3 chamadas por 5 minutos.

Exemplo: Distribuição de Poisson

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import poisson

lambda_param = 3.5 # Taxa média de ocorrências por intervalo

# Calcule a probabilidade de ocorrer exatamente 2 eventos
pmf_2_eventos = poisson.pmf(2, lambda_param)
print(f"P(X=2) (exatamente 2 eventos com λ={lambda_param}) = {pmf_2_eventos:.3f}")

# Calcule a probabilidade acumulada (CDF) de ocorrer até 2 eventos
cdf_ate_2_eventos = poisson.cdf(2, lambda_param)
print(f"P(X<=2) (até 2 eventos com λ={lambda_param}) = {cdf_ate_2_eventos:.3f}")

# Simulação de 1000 resultados de um processo de Poisson
simulacao_poisson = poisson.rvs(lambda_param, size=1000)
print(f"\nSimulação de 10 resultados de Poisson (λ={lambda_param}): {simulacao_poisson[:10]}...")

# Visualização da FMP
x_values = np.arange(0, int(lambda_param * 3)) # Abrange a maior parte da distribuição
pmf_values = poisson.pmf(x_values, lambda_param)

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.bar(x_values, pmf_values, color='lightcoral', edgecolor='black')
plt.title(f'FMP da Distribuição de Poisson (λ={lambda_param})')
plt.xlabel('Número de Ocorrências')
plt.ylabel('Probabilidade')
plt.xticks(x_values)
plt.grid(axis='y', linestyle='--', alpha=0.7)
plt.show()
library(ggplot2)

lambda_param <- 3.5 # Taxa média de ocorrências por intervalo

# Calcule a probabilidade de ocorrer exatamente 2 eventos
pmf_2_eventos <- dpois(2, lambda = lambda_param)
cat(sprintf("P(X=2) (exatamente 2 eventos com λ=%.1f) = %.3f\n", lambda_param, pmf_2_eventos))

# Calcule a probabilidade acumulada (CDF) de ocorrer até 2 eventos
cdf_ate_2_eventos <- ppois(2, lambda = lambda_param)
cat(sprintf("P(X<=2) (até 2 eventos com λ=%.1f) = %.3f\n", lambda_param, cdf_ate_2_eventos))

# Simulação de 1000 resultados de um processo de Poisson
set.seed(42) # para reprodutibilidade
simulacao_poisson <- rpois(1000, lambda = lambda_param)
cat(sprintf("\nSimulação de 10 resultados de Poisson (λ=%.1f): %s...\n", lambda_param, paste(head(simulacao_poisson, 10), collapse = ", ")))

# Visualização da FMP
x_values <- 0:(ceiling(lambda_param * 3))
pmf_values <- dpois(x_values, lambda = lambda_param)
df_poisson <- data.frame(Numero_Ocorrencias = x_values, Probabilidade = pmf_values)

ggplot(df_poisson, aes(x = Numero_Ocorrencias, y = Probabilidade)) +
  geom_bar(stat = "identity", fill = "lightcoral", color = "black") +
  labs(title = paste0('FMP da Distribuição de Poisson (λ=', lambda_param, ')'),
       x = 'Número de Ocorrências',
       y = 'Probabilidade') +
  scale_x_continuous(breaks = x_values) +
  theme_minimal()

Distribuições de Probabilidade Contínuas

Distribuição Uniforme

A Distribuição Uniforme descreve uma variável aleatória contínua onde todos os valores dentro de um determinado intervalo têm a mesma probabilidade de ocorrência. É como um dado de infinitas faces em um intervalo. (Bussab; Morettin, 2017, p. 125)

  • Parâmetros: \(a\) (limite inferior), \(b\) (limite superior).

  • Variável Aleatória: \(X \in [a, b]\).

  • Função Densidade de Probabilidade (FDP):

    \(f(x) = \frac{1}{b-a}\), para \(a \le x \le b\) \(f(x) = 0\), caso contrário.

  • Média: \(E[X] = \frac{a+b}{2}\)

  • Variância: \(Var[X] = \frac{(b-a)^2}{12}\)

Exemplo: O tempo de espera por um ônibus que chega a cada 10 minutos (entre 0 e 10 minutos).

Exemplo: Distribuição Uniforme

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import uniform

a = 0   # Limite inferior
b = 10  # Limite superior

# Probabilidade de X estar entre 3 e 7
prob_intervalo = uniform.cdf(7, loc=a, scale=b-a) - uniform.cdf(3, loc=a, scale=b-a)
print(f"P(3 <= X <= 7) na Distribuição Uniforme [{a}, {b}] = {prob_intervalo:.2f}")

# Simulação de 1000 valores
simulacao_uniforme = uniform.rvs(loc=a, scale=b-a, size=1000)
print(f"\nSimulação de 10 valores Uniformes [{a}, {b}]: {simulacao_uniforme[:10].round(2)}...")

# Visualização da FDP
x_values = np.linspace(a - 2, b + 2, 500) # Extende um pouco para mostrar f(x)=0
pdf_values = uniform.pdf(x_values, loc=a, scale=b-a)

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x_values, pdf_values, color='darkblue', linewidth=2)
plt.fill_between(x_values, pdf_values, color='skyblue', alpha=0.5)
plt.title(f'FDP da Distribuição Uniforme (a={a}, b={b})')
plt.xlabel('Valor de X')
plt.ylabel('Densidade de Probabilidade')
plt.ylim(bottom=0)
plt.grid(linestyle='--', alpha=0.7)
plt.show()
library(ggplot2)

a <- 0   # Limite inferior
b <- 10  # Limite superior

# Probabilidade de X estar entre 3 e 7
prob_intervalo <- punif(7, min = a, max = b) - punif(3, min = a, max = b)
cat(sprintf("P(3 <= X <= 7) na Distribuição Uniforme [%d, %d] = %.2f\n", a, b, prob_intervalo))

# Simulação de 1000 valores
set.seed(42) # para reprodutibilidade
simulacao_uniforme <- runif(1000, min = a, max = b)
cat(sprintf("\nSimulação de 10 valores Uniformes [%d, %d]: %s...\n", a, b, paste(round(head(simulacao_uniforme, 10), 2), collapse = ", ")))

# Visualização da FDP
df_uniforme <- data.frame(x = c(a - 2, a, b, b + 2), y = c(0, 1 / (b - a), 1 / (b - a), 0))

ggplot(df_uniforme, aes(x = x, y = y)) +
  geom_line(color = "darkblue", size = 1) +
  geom_ribbon(aes(ymin = 0, ymax = y), fill = "skyblue", alpha = 0.5) +
  labs(title = paste0('FDP da Distribuição Uniforme (a=', a, ', b=', b, ')'),
       x = 'Valor de X',
       y = 'Densidade de Probabilidade') +
  ylim(0, 1 / (b - a) * 1.5) + # Ajusta o limite Y para visualização
  theme_minimal()

Distribuição Normal (Gaussiana)

A Distribuição Normal, ou Gaussiana, é a mais importante e amplamente utilizada distribuição contínua. É caracterizada por sua forma de sino simétrica. (Bussab; Morettin, 2017, p. 128–132)

  • Parâmetros: \(\mu\) (média), \(\sigma\) (desvio padrão).

  • Variável Aleatória: \(X \in (-\infty, +\infty)\).

  • Função Densidade de Probabilidade (FDP):

    \(f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\)

  • Média: \(E[X] = \mu\)

  • Variância: \(Var[X] = \sigma^2\)

Propriedades Chave:

  • Simetria: A média, mediana e moda são todas iguais.

  • Regra Empírica (ou 68-95-99.7):

    • Aproximadamente 68% dos dados estão dentro de 1 desvio padrão da média.
    • Aproximadamente 95% dos dados estão dentro de 2 desvios padrão da média.
    • Aproximadamente 99.7% dos dados estão dentro de 3 desvios padrão da média.

  • Teorema do Limite Central: A soma ou média de um grande número de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (mesmo que não sejam normais) tenderá a ter uma distribuição aproximadamente normal. Esta é a razão de sua ubiquidade na estatística inferencial.

Exemplo: Distribuição Normal

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm

mu = 70   # Média
sigma = 5 # Desvio Padrão

# Probabilidade de X ser menor que 65
prob_menor_65 = norm.cdf(65, loc=mu, scale=sigma)
print(f"P(X < 65) na Normal (μ={mu}, σ={sigma}) = {prob_menor_65:.3f}")

# Probabilidade de X estar entre 65 e 75
prob_entre_65_75 = norm.cdf(75, loc=mu, scale=sigma) - norm.cdf(65, loc=mu, scale=sigma)
print(f"P(65 <= X <= 75) na Normal (μ={mu}, σ={sigma}) = {prob_entre_65_75:.3f}")

# Simulação de 1000 valores
simulacao_normal = norm.rvs(loc=mu, scale=sigma, size=1000)
print(f"\nSimulação de 10 valores Normais (μ={mu}, σ={sigma}): {simulacao_normal[:10].round(2)}...")

# Visualização da FDP
x_values = np.linspace(mu - 4*sigma, mu + 4*sigma, 500)
pdf_values = norm.pdf(x_values, loc=mu, scale=sigma)

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x_values, pdf_values, color='darkgreen', linewidth=2)
plt.fill_between(x_values, pdf_values, color='lightgreen', alpha=0.5)

# Marcar média e desvios padrão para a regra empírica
plt.axvline(mu, color='gray', linestyle='--', label=f'Média (μ={mu})')
for i in range(1, 4):
    plt.axvline(mu - i*sigma, color='purple', linestyle=':', alpha=0.7)
    plt.axvline(mu + i*sigma, color='purple', linestyle=':', alpha=0.7)

plt.title(f'FDP da Distribuição Normal (μ={mu}, σ={sigma})')
plt.xlabel('Valor de X')
plt.ylabel('Densidade de Probabilidade')
plt.ylim(bottom=0)
plt.grid(linestyle='--', alpha=0.7)
plt.legend()
plt.show()
library(ggplot2)

mu <- 70   # Média
sigma <- 5 # Desvio Padrão

# Probabilidade de X ser menor que 65
prob_menor_65 <- pnorm(65, mean = mu, sd = sigma)
cat(sprintf("P(X < 65) na Normal (μ=%.0f, σ=%.0f) = %.3f\n", mu, sigma, prob_menor_65))

# Probabilidade de X estar entre 65 e 75
prob_entre_65_75 <- pnorm(75, mean = mu, sd = sigma) - pnorm(65, mean = mu, sd = sigma)
cat(sprintf("P(65 <= X <= 75) na Normal (μ=%.0f, σ=%.0f) = %.3f\n", mu, sigma, prob_entre_65_75))

# Simulação de 1000 valores
set.seed(42) # para reprodutibilidade
simulacao_normal <- rnorm(1000, mean = mu, sd = sigma)
cat(sprintf("\nSimulação de 10 valores Normais (μ=%.0f, σ=%.0f): %s...\n", mu, sigma, paste(round(head(simulacao_normal, 10), 2), collapse = ", ")))

# Visualização da FDP
x_values <- seq(mu - 4 * sigma, mu + 4 * sigma, length.out = 500)
pdf_values <- dnorm(x_values, mean = mu, sd = sigma)
df_normal <- data.frame(x = x_values, y = pdf_values)

ggplot(df_normal, aes(x = x, y = y)) +
  geom_line(color = "darkgreen", size = 1) +
  geom_ribbon(aes(ymin = 0, ymax = y), fill = "lightgreen", alpha = 0.5) +
  geom_vline(xintercept = mu, linetype = "dashed", color = "gray", size = 0.8, aes(linetype = "Média")) +
  geom_vline(xintercept = c(mu - sigma, mu + sigma), linetype = "dotted", color = "purple", size = 0.6, aes(linetype = "1 SD")) +
  geom_vline(xintercept = c(mu - 2*sigma, mu + 2*sigma), linetype = "dotted", color = "purple", size = 0.6, aes(linetype = "2 SD")) +
  geom_vline(xintercept = c(mu - 3*sigma, mu + 3*sigma), linetype = "dotted", color = "purple", size = 0.6, aes(linetype = "3 SD")) +
  labs(title = paste0('FDP da Distribuição Normal (μ=', mu, ', σ=', sigma, ')'),
       x = 'Valor de X',
       y = 'Densidade de Probabilidade',
       linetype = "Marcadores") +
  theme_minimal() +
  scale_linetype_manual(values = c("Média" = "dashed", "1 SD" = "dotted", "2 SD" = "dotted", "3 SD" = "dotted"),
                        labels = c("Média", "±1 SD", "±2 SD", "±3 SD")) +
  theme(legend.position = "bottom")

Distribuição Exponencial

A Distribuição Exponencial modela o tempo entre eventos em um processo de Poisson, ou o tempo até a primeira ocorrência de um evento, onde os eventos ocorrem com uma taxa média constante. Possui a propriedade de “ausência de memória”. (Bussab; Morettin, 2017, p. 126)

  • Parâmetro: \(\lambda\) (lambda - taxa de ocorrência, inversa da média do tempo).

  • Variável Aleatória: \(X \ge 0\).

  • Função Densidade de Probabilidade (FDP):

    \(f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\), para \(x \ge 0\) \(f(x) = 0\), para \(x < 0\).

  • Média: \(E[X] = 1/\lambda\)

  • Variância: \(Var[X] = 1/\lambda^2\)

Exemplo: O tempo de vida de um componente eletrônico, ou o tempo de espera entre chegadas de clientes em uma fila.

Exemplo: Distribuição Exponencial

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import expon

lambda_param = 0.5 # Taxa (eventos por unidade de tempo)
mean_time = 1 / lambda_param # Tempo médio entre eventos

# Probabilidade de um evento ocorrer em menos de 2 unidades de tempo
prob_menor_2 = expon.cdf(2, scale=mean_time) # scale é 1/lambda_param
print(f"P(X < 2) na Exponencial (λ={lambda_param}) = {prob_menor_2:.3f}")

# Simulação de 1000 valores
simulacao_exponencial = expon.rvs(scale=mean_time, size=1000)
print(f"\nSimulação de 10 valores Exponenciais (λ={lambda_param}): {simulacao_exponencial[:10].round(2)}...")

# Visualização da FDP
x_values = np.linspace(0, 4 * mean_time, 500) # Vai até cerca de 4 vezes o tempo médio
pdf_values = expon.pdf(x_values, scale=mean_time)

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x_values, pdf_values, color='darkred', linewidth=2)
plt.fill_between(x_values, pdf_values, color='lightsalmon', alpha=0.5)
plt.title(f'FDP da Distribuição Exponencial (λ={lambda_param}, Média={mean_time:.1f})')
plt.xlabel('Tempo (X)')
plt.ylabel('Densidade de Probabilidade')
plt.ylim(bottom=0)
plt.grid(linestyle='--', alpha=0.7)
plt.show()
library(ggplot2)

lambda_param <- 0.5 # Taxa (eventos por unidade de tempo)
mean_time <- 1 / lambda_param # Tempo médio entre eventos

# Probabilidade de um evento ocorrer em menos de 2 unidades de tempo
prob_menor_2 <- pexp(2, rate = lambda_param) # rate é lambda
cat(sprintf("P(X < 2) na Exponencial (λ=%.1f) = %.3f\n", lambda_param, prob_menor_2))

# Simulação de 1000 valores
set.seed(42) # para reprodutibilidade
simulacao_exponencial <- rexp(1000, rate = lambda_param)
cat(sprintf("\nSimulação de 10 valores Exponenciais (λ=%.1f): %s...\n", lambda_param, paste(round(head(simulacao_exponencial, 10), 2), collapse = ", ")))

# Visualização da FDP
x_values <- seq(0, 4 * mean_time, length.out = 500)
pdf_values <- dexp(x_values, rate = lambda_param)
df_exponential <- data.frame(x = x_values, y = pdf_values)

ggplot(df_exponential, aes(x = x, y = y)) +
  geom_line(color = "darkred", size = 1) +
  geom_ribbon(aes(ymin = 0, ymax = y), fill = "lightsalmon", alpha = 0.5) +
  labs(title = paste0('FDP da Distribuição Exponencial (λ=', lambda_param, ', Média=', mean_time, ')'),
       x = 'Tempo (X)',
       y = 'Densidade de Probabilidade') +
  theme_minimal()

Relação com Outros Conceitos

As distribuições de probabilidade são a espinha dorsal de muitos conceitos em estatística e ciência de dados.

  • Probabilidade e Análise Combinatória: As FMPs das distribuições discretas (como a binomial) são construídas diretamente a partir de princípios de contagem.
  • Estatística Descritiva: A média e a variância de uma distribuição são seus parâmetros descritivos teóricos, que são estimados por suas contrapartes amostrais na estatística descritiva.
  • Amostragem: A distribuição amostral de uma estatística (como a média amostral) é ela própria uma distribuição de probabilidade, frequentemente aproximada pela Normal (graças ao TLC).
  • Estimação: Os intervalos de confiança dependem da distribuição teórica da estatística de teste (Normal, t de Student, etc.), que por sua vez são distribuições de probabilidade.
  • Testes de Hipóteses: A tomada de decisão em testes de hipóteses baseia-se na comparação de uma estatística de teste com uma distribuição de probabilidade (por exemplo, Z-score com a Normal padrão, t-score com a t de Student) para calcular p-valores.
graph TD
    A["Conceitos de Probabilidade Básica"] --> B("Variáveis Aleatórias: Discreta/Contínua");
    B --> C("Distribuições Discretas: Bernoulli, Binomial, Poisson");
    B --> D("Distribuições Contínuas: Uniforme, Normal, Exponencial");
    C --> E("Cálculo de Probabilidades P(X=x) / P(a<X<b)");
    D --> E;
    E --> F("Parâmetros da Distribuição: Média, Variância");
    F --> G("Estimação e Testes de Hipóteses");
    G --> H["Inferência Estatística"];

    style A fill:#e6f3ff,stroke:#007bff;
    style B fill:#ffe0b3,stroke:#ffc107;
    style C fill:#d4edda,stroke:#28a745;
    style D fill:#d4edda,stroke:#28a745;
    style E fill:#f8bbd0,stroke:#e91e63;
    style F fill:#c8e6c9,stroke:#4caf50;
    style G fill:#bbdefb,stroke:#2196f3;
    style H fill:#afa,stroke:#333,stroke-width:2px;
Figura 1: Relação das Distribuições de Probabilidade com Outros Conceitos Estatísticos

Verificação de Aprendizagem

Resolva os problemas abaixo, identificando a distribuição de probabilidade apropriada e utilizando Python ou R para calcular as probabilidades ou simular os resultados.

  1. Problema 1 (Controle de Qualidade - Binomial):

    Uma linha de produção fabrica resistores, e 5% deles são defeituosos. Uma amostra de 20 resistores é selecionada aleatoriamente.

    1. Qual a probabilidade de que exatamente 2 resistores na amostra sejam defeituosos?
    2. Qual a probabilidade de que no máximo 1 resistor na amostra seja defeituoso?
    3. Qual a probabilidade de que pelo menos 3 resistores na amostra sejam defeituosos?

  2. Problema 2 (Chamadas de Suporte - Poisson):

    O número de chamadas de suporte técnico recebidas por minuto segue uma distribuição de Poisson com uma taxa média de 2.5 chamadas por minuto.

    1. Qual a probabilidade de que exatamente 3 chamadas sejam recebidas em um minuto?
    2. Qual a probabilidade de que 5 ou mais chamadas sejam recebidas em um minuto?

  3. Problema 3 (Tempo de Espera - Exponencial):

    O tempo (em minutos) que um cliente espera na fila de um caixa eletrônico segue uma distribuição exponencial com uma taxa média de 0.2 clientes por minuto (ou seja, o tempo médio de espera é de 5 minutos).

    1. Qual a probabilidade de um cliente esperar mais de 10 minutos?
    2. Qual a probabilidade de um cliente esperar entre 3 e 7 minutos?

  4. Problema 4 (Notas de Exame - Normal):

    As notas de um exame final seguem uma distribuição normal com média de 70 e desvio padrão de 8.

    1. Qual a probabilidade de um aluno tirar uma nota maior que 85?
    2. Qual a probabilidade de um aluno tirar uma nota entre 60 e 80?
    3. Que nota separa os 10% melhores alunos?

Soluções da Atividade

Problema 1 (Controle de Qualidade - Binomial):

  • \(n = 20\) (ensaios), \(p = 0.05\) (probabilidade de sucesso/defeito). Variável \(X\): número de resistores defeituosos.
  1. P(X=2):
from scipy.stats import binom
n = 20
p = 0.05
prob_exatamente_2 = binom.pmf(2, n, p)
print(f"a) P(X=2) = {prob_exatamente_2:.4f}")
n <- 20
p <- 0.05
prob_exatamente_2 <- dbinom(2, size = n, prob = p)
cat(sprintf("a) P(X=2) = %.4f\n", prob_exatamente_2))

Resposta: \(\approx 0.1887\)

  1. P(X \(\le\) 1):
from scipy.stats import binom
n = 20
p = 0.05
prob_no_max_1 = binom.cdf(1, n, p)
print(f"b) P(X<=1) = {prob_no_max_1:.4f}")
n <- 20
p <- 0.05
prob_no_max_1 <- pbinom(1, size = n, prob = p)
cat(sprintf("b) P(X<=1) = %.4f\n", prob_no_max_1))

Resposta: \(\approx 0.7358\)

  1. P(X \(\ge\) 3): (\(1 - P(X \le 2)\))
from scipy.stats import binom
n = 20
p = 0.05
prob_pelo_menos_3 = 1 - binom.cdf(2, n, p)
print(f"c) P(X>=3) = {prob_pelo_menos_3:.4f}")
n <- 20
p <- 0.05
prob_pelo_menos_3 <- 1 - pbinom(2, size = n, prob = p)
cat(sprintf("c) P(X>=3) = %.4f\n", prob_pelo_menos_3))

Resposta: \(\approx 0.2642\)

Problema 2 (Chamadas de Suporte - Poisson):

  • \(\lambda = 2.5\) (chamadas por minuto). Variável \(X\): número de chamadas.
  1. P(X=3):
from scipy.stats import poisson
lambda_param = 2.5
prob_exatamente_3 = poisson.pmf(3, lambda_param)
print(f"a) P(X=3) = {prob_exatamente_3:.4f}")
lambda_param <- 2.5
prob_exatamente_3 <- dpois(3, lambda = lambda_param)
cat(sprintf("a) P(X=3) = %.4f\n", prob_exatamente_3))

Resposta: \(\approx 0.2138\)

  1. P(X \(\ge\) 5): (\(1 - P(X \le 4)\))
from scipy.stats import poisson
lambda_param = 2.5
prob_5_ou_mais = 1 - poisson.cdf(4, lambda_param)
print(f"b) P(X>=5) = {prob_5_ou_mais:.4f}")
lambda_param <- 2.5
prob_5_ou_mais <- 1 - ppois(4, lambda = lambda_param)
cat(sprintf("b) P(X>=5) = %.4f\n", prob_5_ou_mais))

Resposta: \(\approx 0.1088\)

Problema 3 (Tempo de Espera - Exponencial):

  • \(\lambda = 0.2\) (clientes por minuto). Alternativamente, scale = 1/lambda = 5 (tempo médio). Variável \(X\): tempo de espera.
  1. P(X > 10): (\(1 - P(X \le 10)\))
from scipy.stats import expon
lambda_param = 0.2
mean_time = 1 / lambda_param
prob_mais_10 = 1 - expon.cdf(10, scale=mean_time)
print(f"a) P(X>10) = {prob_mais_10:.4f}")
lambda_param <- 0.2
prob_mais_10 <- 1 - pexp(10, rate = lambda_param)
cat(sprintf("a) P(X>10) = %.4f\n", prob_mais_10))

Resposta: \(\approx 0.1353\)

  1. P(3 \(\le\) X \(\le\) 7): (\(P(X \le 7) - P(X \le 3)\))
from scipy.stats import expon
lambda_param = 0.2
mean_time = 1 / lambda_param
prob_entre_3_7 = expon.cdf(7, scale=mean_time) - expon.cdf(3, scale=mean_time)
print(f"b) P(3<=X<=7) = {prob_entre_3_7:.4f}")
lambda_param <- 0.2
prob_entre_3_7 <- pexp(7, rate = lambda_param) - pexp(3, rate = lambda_param)
cat(sprintf("b) P(3<=X<=7) = %.4f\n", prob_entre_3_7))

Resposta: \(\approx 0.3421\)

Problema 4 (Notas de Exame - Normal):

  • \(\mu = 70\), \(\sigma = 8\). Variável \(X\): nota do exame.
  1. P(X > 85): (\(1 - P(X \le 85)\))
from scipy.stats import norm
mu = 70
sigma = 8
prob_maior_85 = 1 - norm.cdf(85, loc=mu, scale=sigma)
print(f"a) P(X>85) = {prob_maior_85:.4f}")
mu <- 70
sigma <- 8
prob_maior_85 <- 1 - pnorm(85, mean = mu, sd = sigma)
cat(sprintf("a) P(X>85) = %.4f\n", prob_maior_85))

Resposta: \(\approx 0.0287\)

  1. P(60 \(\le\) X \(\le\) 80): (\(P(X \le 80) - P(X \le 60)\))
from scipy.stats import norm
mu = 70
sigma = 8
prob_entre_60_80 = norm.cdf(80, loc=mu, scale=sigma) - norm.cdf(60, loc=mu, scale=sigma)
print(f"b) P(60<=X<=80) = {prob_entre_60_80:.4f}")
mu <- 70
sigma <- 8
prob_entre_60_80 <- pnorm(80, mean = mu, sd = sigma) - pnorm(60, mean = mu, sd = sigma)
cat(sprintf("b) P(60<=X<=80) = %.4f\n", prob_entre_60_80))

Resposta: \(\approx 0.7887\)

  1. Nota que separa os 10% melhores alunos: (Quantil de 90%, \(P(X \le \text{nota}) = 0.90\))
from scipy.stats import norm
mu = 70
sigma = 8
nota_90_percentil = norm.ppf(0.90, loc=mu, scale=sigma)
print(f"c) Nota que separa os 10% melhores alunos: {nota_90_percentil:.2f}")
mu <- 70
sigma <- 8
nota_90_percentil <- qnorm(0.90, mean = mu, sd = sigma)
cat(sprintf("c) Nota que separa os 10% melhores alunos: %.2f\n", nota_90_percentil))

Resposta: \(\approx 80.25\)

Referências Bibliográficas

BUSSAB, Luiz O. de M.; MORETTIN, Pedro A. Estatı́stica Básica. 9. ed. São Paulo: Saraiva, 2017.