Introdução à Probabilidade e Eventos

Entendendo Conceitos de Probabilidade, Espaço Amostral e Eventos

Autor

Márcio Nicolau

Data de Publicação

20 de agosto de 2025

Introdução à Probabilidade

A probabilidade é a linguagem da incerteza. Em nosso mundo, repleto de fenômenos aleatórios, a capacidade de quantificar a chance de um evento ocorrer é fundamental para a tomada de decisões em diversas áreas, desde finanças e medicina até engenharia e, claro, ciência de dados. Compreender os conceitos básicos de probabilidade é o alicerce para análises estatísticas mais avançadas, modelagem preditiva e inferência.

Nesta aula, exploraremos os conceitos fundamentais que nos permitem descrever e quantificar a incerteza: o que é probabilidade, como definir o universo de possibilidades (espaço amostral) e como caracterizar os resultados de interesse (eventos).

Objetivo de Aprendizagem

Ao final desta aula, você será capaz de:

  • Definir e compreender o conceito de experimento aleatório e probabilidade.
  • Identificar e construir o espaço amostral para diferentes experimentos aleatórios.
  • Definir e classificar diferentes tipos de eventos.
  • Realizar operações básicas com eventos (união, interseção, complemento) e interpretá-las.
  • Aplicar o conceito clássico de probabilidade para calcular a chance de eventos simples.
  • Conectar os conhecimentos de análise combinatória (aula anterior) ao cálculo de probabilidades.

Experimentos Aleatórios e o Conceito de Probabilidade

Experimento Aleatório

Um experimento aleatório é qualquer processo ou ação que:

1.  Pode ser repetido sob as mesmas condições.
2.  Os resultados não podem ser previstos com certeza antes da sua realização.
3.  Todos os resultados possíveis podem ser listados de antemão.
NotaExemplos
  • Lançamento de uma moeda.
  • Lançamento de um dado.
  • Retirada de uma carta de um baralho.
  • Medir a altura de um indivíduo selecionado aleatoriamente.
  • O número de clientes que entram em uma loja em uma hora.

Conceito de Probabilidade

Em termos intuitivos, a probabilidade de um evento é uma medida numérica da chance de que ele ocorra. É expressa como um número entre 0 e 1 (ou 0% e 100%), onde:

  • \(0\) indica que o evento é impossível.
  • \(1\) indica que o evento é certo.

Formalmente, existem diferentes abordagens para definir probabilidade:

Abordagem Clássica (ou de Laplace)

Se um experimento aleatório tem \(N\) resultados possíveis, todos igualmente prováveis, e um evento \(E\) tem \(n_E\) resultados favoráveis, então a probabilidade do evento \(E\) é:

\(P(E) = \frac{\text{Resultados favoráveis ao evento E}}{\text{Resultados possíveis no espaço amostral}} = \frac{n_E}{N}\)

Esta abordagem é aplicável quando os resultados são simétricos e equiprováveis (por exemplo, lançamento de um dado justo).

Abordagem da Frequência Relativa (ou Empírica)

Se um experimento é repetido um grande número de vezes (\(N\) tentativas), e um evento \(E\) ocorre \(n_E\) vezes, então a probabilidade do evento \(E\) é aproximada pela frequência relativa:

\(P(E) \approx \frac{n_E}{N}\) (quando \(N\) é grande)

Essa abordagem é útil quando os resultados não são equiprováveis ou são difíceis de enumerar.

Abordagem Subjetiva

A probabilidade subjetiva é baseada na crença pessoal ou julgamento de um indivíduo sobre a ocorrência de um evento, muitas vezes em situações onde não há dados históricos ou simetria para aplicar as outras abordagens.

Nesta aula, focaremos principalmente nas abordagens clássica e no entendimento de eventos e espaços amostrais.

Propriedades Fundamentais da Probabilidade: (Bussab; Morettin, 2017, p. 57–58)

  1. Para qualquer evento \(E\), \(0 \le P(E) \le 1\).
  2. A probabilidade do espaço amostral (evento certo) é \(P(\Omega) = 1\).
  3. A probabilidade do evento impossível é \(P(\emptyset) = 0\).

Espaço Amostral (\(\Omega\) ou \(S\))

O espaço amostral de um experimento aleatório é o conjunto de todos os resultados possíveis desse experimento. É usualmente denotado por \(\Omega\) (ômega maiúscula) ou \(S\).

Tipos de Espaço Amostral

  • Espaço Amostral Finito: Contém um número limitado de resultados.

    • Exemplo: Lançamento de um dado. \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)
    • Exemplo: Lançamento de duas moedas. \(\Omega = \{HH, HT, TH, TT\}\)

  • Espaço Amostral Infinito Contável: Contém um número infinito de resultados que podem ser contados (enumerados) em uma sequência.

    • Exemplo: Número de vezes que uma moeda precisa ser lançada até que a primeira “cara” apareça. \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, \dots\}\)

  • Espaço Amostral Infinito Não Contável (ou Contínuo): Contém um número infinito de resultados que não podem ser contados, mas sim medidos (intervalos de números reais).

    • Exemplo: O tempo de vida de uma lâmpada. \(\Omega = \{t \in \mathbb{R} \mid t \ge 0\}\)

Construindo Espaços Amostrais com Python e R

Lançamento de uma Moeda

def lancar_moeda():
    return ['Cara', 'Coroa']

espaco_amostral_moeda = lancar_moeda()
print(f"Espaço Amostral (1 moeda): {espaco_amostral_moeda}")
lancar_moeda <- function() {
  return(c("Cara", "Coroa"))
}

espaco_amostral_moeda <- lancar_moeda()
cat("Espaço Amostral (1 moeda):", espaco_amostral_moeda, "\n")

Lançamento de Duas Moedas

from itertools import product

def lancar_duas_moedas():
    resultados_uma_moeda = ['C', 'K'] # C para Cara, K para Coroa
    # product gera todas as combinações possíveis com repetição
    espaco_amostral = list(product(resultados_uma_moeda, repeat=2))
    # Convertendo para strings legíveis
    return [''.join(res) for res in espaco_amostral]

espaco_amostral_duas_moedas = lancar_duas_moedas()
print(f"Espaço Amostral (2 moedas): {espaco_amostral_duas_moedas}")
print(f"Tamanho do Espaço Amostral: {len(espaco_amostral_duas_moedas)}")
# install.packages("gtools") # Se ainda não tiver
library(gtools)

lancar_duas_moedas <- function() {
  resultados_uma_moeda <- c('C', 'K') # C para Cara, K para Coroa
  # expand.grid cria um data frame com todas as combinações
  espaco_amostral_df <- expand.grid(
    moeda1 = resultados_uma_moeda,
    moeda2 = resultados_uma_moeda
  )
  # Juntando as colunas para obter strings como "CC", "CK"
  espaco_amostral <- apply(espaco_amostral_df, 1, paste, collapse = "")
  return(espaco_amostral)
}

espaco_amostral_duas_moedas <- lancar_duas_moedas()
cat("Espaço Amostral (2 moedas):", espaco_amostral_duas_moedas, "\n")
cat("Tamanho do Espaço Amostral:", length(espaco_amostral_duas_moedas), "\n")

Lançamento de um Dado

def lancar_dado():
    return list(range(1, 7))

espaco_amostral_dado = lancar_dado()
print(f"Espaço Amostral (1 dado): {espaco_amostral_dado}")
lancar_dado <- function() {
  return(1:6)
}

espaco_amostral_dado <- lancar_dado()
cat("Espaço Amostral (1 dado):", espaco_amostral_dado, "\n")

Eventos

Um evento é qualquer subconjunto do espaço amostral. Ele representa um resultado ou um conjunto de resultados de interesse em um experimento aleatório.

Tipos de Eventos

  • Evento Simples (ou Elementar): Contém apenas um resultado do espaço amostral.

    • Exemplo (Lançamento de um dado): “Obter o número 3”. \(E = \{3\}\)

  • Evento Composto: Contém dois ou mais resultados do espaço amostral.

    • Exemplo (Lançamento de um dado): “Obter um número par”. \(E = \{2, 4, 6\}\)

  • Evento Certo: É o próprio espaço amostral \(\Omega\). É o evento que certamente ocorrerá.

    • Exemplo (Lançamento de um dado): “Obter um número menor que 7”. \(E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = \Omega\)

  • Evento Impossível: É o conjunto vazio \(\emptyset\). É o evento que nunca ocorrerá.

    • Exemplo (Lançamento de um dado): “Obter o número 7”. \(E = \emptyset\)

Operações com Eventos

Assim como conjuntos, podemos realizar operações com eventos para descrever situações mais complexas. [Bussab & Morettin, 2017, p. 52-54]

União de Eventos (\(\cup\))

A união de dois eventos \(A\) e \(B\), denotada por \(A \cup B\), é o evento que ocorre se \(A\) ou \(B\) (ou ambos) ocorrem. Em termos de conjuntos, \(A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ ou } x \in B\}\).

Exemplo (Lançamento de um dado):

  • Evento A: “Obter um número par” = \(\{2, 4, 6\}\)
  • Evento B: “Obter um número primo” = \(\{2, 3, 5\}\)
  • \(A \cup B\): “Obter um número par ou um número primo” = \(\{2, 3, 4, 5, 6\}\)

Diagrama de Venn:

graph TD
    subgraph S["Espaço Amostral (Ω)"]
        A(A) --- B(B)
    end
    style A fill:#add8e6,stroke:#333,stroke-width:2px;
    style B fill:#90ee90,stroke:#333,stroke-width:2px;
    style S fill:transparent,stroke:#333,stroke-width:2px;
Figura 1: Diagrama de Venn para a união de dois eventos

(Representa a área sombreada de A e B, incluindo a interseção)

Interseção de Eventos (\(\cap\))

A interseção de dois eventos \(A\) e \(B\), denotada por \(A \cap B\), é o evento que ocorre se \(A\) e \(B\) ocorrem simultaneamente. Em termos de conjuntos, \(A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ e } x \in B\}\).

Exemplo (Lançamento de um dado):

  • Evento A: “Obter um número par” = \(\{2, 4, 6\}\)
  • Evento B: “Obter um número primo” = \(\{2, 3, 5\}\)
  • \(A \cap B\): “Obter um número par e primo” = \(\{2\}\)

Diagrama de Venn:

graph TD
    subgraph S["Espaço Amostral (Ω)"]
        A(A) -- Interseção --> B(B)
    end
    style A fill:#add8e6,stroke:#333,stroke-width:2px;
    style B fill:#90ee90,stroke:#333,stroke-width:2px;
    style S fill:transparent,stroke:#333,stroke-width:2px;
Figura 2: Interasseção de dois eventos

(Representa apenas a área sombreada da interseção entre A e B)

Complemento de um Evento (\(A^c\) ou \(\bar{A}\))

O complemento de um evento \(A\), denotado por \(A^c\) ou \(\bar{A}\), é o evento que ocorre se \(A\) não ocorre. Em termos de conjuntos, \(A^c = \{x \mid x \in \Omega \text{ e } x \notin A\}\).

Exemplo (Lançamento de um dado):

  • Espaço Amostral \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)
  • Evento A: “Obter um número par” = \(\{2, 4, 6\}\)
  • \(A^c\): “Não obter um número par” (ou “Obter um número ímpar”) = \(\{1, 3, 5\}\)

Diagrama de Venn:

graph TD
    subgraph S["Espaço Amostral (Ω)"]
        A(A)
    end
    style A fill:#add8e6,stroke:#333,stroke-width:2px;
    style S fill:transparent,stroke:#333,stroke-width:2px;
Figura 3: Complemento de um evento

(Representa a área sombreada do Espaço Amostral fora* de A)*

Eventos Mutuamente Exclusivos (ou Disjuntos)

Dois eventos \(A\) e \(B\) são mutuamente exclusivos se eles não podem ocorrer ao mesmo tempo. Isso significa que sua interseção é o conjunto vazio (\(A \cap B = \emptyset\)).

Exemplo (Lançamento de um dado):

  • Evento A: “Obter um número par” = \(\{2, 4, 6\}\)
  • Evento B: “Obter um número ímpar” = \(\{1, 3, 5\}\)
  • \(A \cap B = \emptyset\). Portanto, A e B são mutuamente exclusivos.

Diagrama de Venn:

graph TD
    subgraph S["Espaço Amostral (Ω)"]
        A(A)
        B(B)
    end
    style A fill:#add8e6,stroke:#333,stroke-width:2px;
    style B fill:#90ee90,stroke:#333,stroke-width:2px;
    style S fill:transparent,stroke:#333,stroke-width:2px;
Figura 4: Diagrama de Venn para dois eventos mutuamente exclusivos

(Círculos A e B não se sobrepõem)

Eventos Coletivamente Exaustivos

Um conjunto de eventos é coletivamente exaustivo se a união de todos eles cobre todo o espaço amostral (\(\Omega\)).

Exemplo (Lançamento de um dado):

  • Evento A: “Obter um número par” = \(\{2, 4, 6\}\)
  • Evento B: “Obter um número ímpar” = \(\{1, 3, 5\}\)
  • \(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = \Omega\). Portanto, A e B são coletivamente exaustivos. (Neste caso, também são mutuamente exclusivos).

Cálculo de Probabilidade Utilizando a Abordagem Clássica

Agora que entendemos espaço amostral e eventos, podemos aplicar a fórmula da probabilidade clássica:

\(P(E) = \frac{\text{Resultados favoráveis ao evento E}}{\text{Resultados possíveis no espaço amostral}}\)

ImportanteLembre-se

A Análise Combinatória (permutação, arranjo, e em breve combinação) é essencial para determinar esses “números de resultados” em cenários mais complexos.

NotaExemplo: Lançamento de um Dado

Espaço Amostral \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\), então \(N = 6\).

  • Evento E1: “Obter um número par”

    • \(E1 = \{2, 4, 6\}\), então \(n_{E1} = 3\).
    • \(P(E1) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0.5\)

  • Evento E2: “Obter um número maior que 4”

    • \(E2 = \{5, 6\}\), então \(n_{E2} = 2\).
    • \(P(E2) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0.333\)

Exemplo Cálculo de Probabilidade Simples

# Lançamento de um dado
espaco_amostral_dado = list(range(1, 7))
N = len(espaco_amostral_dado)
print(f"Espaço Amostral do Dado: {espaco_amostral_dado}, N = {N}")

# Evento E1: Obter um número par
evento_e1 = [x for x in espaco_amostral_dado if x % 2 == 0]
n_e1 = len(evento_e1)
prob_e1 = n_e1 / N
print(f"Evento E1 (número par): {evento_e1}, n(E1) = {n_e1}")
print(f"P(E1) = {prob_e1:.3f}")

# Evento E2: Obter um número maior que 4
evento_e2 = [x for x in espaco_amostral_dado if x > 4]
n_e2 = len(evento_e2)
prob_e2 = n_e2 / N
print(f"Evento E2 (número > 4): {evento_e2}, n(E2) = {n_e2}")
print(f"P(E2) = {prob_e2:.3f}")
# Lançamento de um dado
espaco_amostral_dado <- 1:6
N <- length(espaco_amostral_dado)
cat(sprintf(
  "Espaço Amostral do Dado: %s, N = %d\n",
  paste(espaco_amostral_dado, collapse = ", "),
  N
))

# Evento E1: Obter um número par
evento_e1 <- espaco_amostral_dado[espaco_amostral_dado %% 2 == 0]
n_e1 <- length(evento_e1)
prob_e1 <- n_e1 / N
cat(sprintf(
  "Evento E1 (número par): %s, n(E1) = %d\n",
  paste(evento_e1, collapse = ", "),
  n_e1
))
cat(sprintf("P(E1) = %.3f\n", prob_e1))

# Evento E2: Obter um número maior que 4
evento_e2 <- espaco_amostral_dado[espaco_amostral_dado > 4]
n_e2 <- length(evento_e2)
prob_e2 <- n_e2 / N
cat(sprintf(
  "Evento E2 (número > 4): %s, n(E2) = %d\n",
  paste(evento_e2, collapse = ", "),
  n_e2
))
cat(sprintf("P(E2) = %.3f\n", prob_e2))

Regras da Adição de Probabilidades

  1. Para eventos mutuamente exclusivos: Se \(A\) e \(B\) são eventos mutuamente exclusivos, a probabilidade de \(A\) ou \(B\) ocorrer é a soma das suas probabilidades:

    \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)

  2. Para eventos não mutuamente exclusivos: Se \(A\) e \(B\) não são mutuamente exclusivos, a probabilidade de \(A\) ou \(B\) ocorrer é:

    \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) A interseção é subtraída para evitar contagem dupla dos resultados que estão em ambos os eventos.

Exemplo (Lançamento de um dado):

  • Evento A: “Obter um número par” (\(P(A) = 3/6\))
  • Evento B: “Obter um número maior que 4” (\(P(B) = 2/6\))
  • \(A \cap B = \{6\}\), então \(P(A \cap B) = 1/6\).
  • \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\). Verificando: \(A \cup B = \{2, 4, 5, 6\}\), que tem 4 resultados, então \(P(A \cup B) = 4/6\).

Verificação de Aprendizagem

Resolva os problemas abaixo, definindo o espaço amostral e os eventos, e calculando as probabilidades quando solicitado.

  1. Lançamento de Três Moedas:

    1. Defina o espaço amostral (\(\Omega\)) para o lançamento de três moedas. Quantos resultados existem?
    2. Defina o evento \(A\): “Obter exatamente duas caras”.
    3. Defina o evento \(B\): “Obter pelo menos uma coroa”.
    4. Defina o evento \(C\): “Obter três resultados iguais”.
    5. Calcule \(P(A)\), \(P(B)\) e \(P(C)\).
    6. Calcule \(P(A \cup B)\).
    7. Calcule \(P(A \cap C)\). Os eventos A e C são mutuamente exclusivos?

  • Resultados por moeda: {C, K}

    1. Espaço Amostral (\(\Omega\)): Usando o Princípio Multiplicativo: \(2 \times 2 \times 2 = 8\) resultados.

      \(\Omega = \{CCC, CCK, CKC, CKK, KCC, KCK, KKC, KKK\}\)

    2. Evento A: “Obter exatamente duas caras”.

      \(A = \{CCK, CKC, KCC\}\)

    3. Evento B: “Obter pelo menos uma coroa”.

      \(B = \{CCK, CKC, CKK, KCC, KCK, KKC, KKK\}\) (Todos exceto CCC)

    4. Evento C: “Obter três resultados iguais”.

      \(C = \{CCC, KKK\}\)

    5. Cálculo de Probabilidades:

      • \(P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{3}{8}\)
      • \(P(B) = \frac{n(B)}{n(\Omega)} = \frac{7}{8}\) (ou \(1 - P(CCC) = 1 - 1/8 = 7/8\))
      • \(P(C) = \frac{n(C)}{n(\Omega)} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\)

    6. \(P(A \cup B)\):

      \(A \cup B = \{CCK, CKC, KCC\} \cup \{CCK, CKC, CKK, KCC, KCK, KKC, KKK\}\) \(A \cup B = \{CCK, CKC, CKK, KCC, KCK, KKC, KKK\}\) (o mesmo que Evento B) \(P(A \cup B) = P(B) = \frac{7}{8}\) (Alternativamente, usando a regra da adição: \(P(A \cap B) = A = \{CCK, CKC, KCC\}\), então \(P(A \cap B) = 3/8\). \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{3}{8} + \frac{7}{8} - \frac{3}{8} = \frac{7}{8}\))

    7. \(P(A \cap C)\):

      \(A = \{CCK, CKC, KCC\}\) \(C = \{CCC, KKK\}\) \(A \cap C = \emptyset\) (Não há resultados em comum) \(P(A \cap C) = 0\). Sim, os eventos A e C são mutuamente exclusivos.

  1. Baralho de Cartas:

    Um baralho padrão possui 52 cartas, sendo 4 naipes (Copas, Ouros, Espadas, Paus) e 13 valores em cada naipe (A, 2, 3, …, 10, J, Q, K). Uma carta é retirada aleatoriamente de um baralho bem embaralhado.

    1. Qual o espaço amostral e seu tamanho?
    2. Qual a probabilidade de a carta ser de Copas?
    3. Qual a probabilidade de a carta ser um Ás?
    4. Qual a probabilidade de a carta ser de Copas E um Ás?
    5. Qual a probabilidade de a carta ser de Copas OU um Ás?
a) **Espaço Amostral:** O conjunto de todas as 52 cartas do baralho. Seu tamanho $N=52$.

b) **Probabilidade de a carta ser de Copas:** Existem 13 cartas de Copas.

    $P(\text{Copas}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$

c) **Probabilidade de a carta ser um Ás:** Existem 4 Ases no baralho.

    $P(\text{Ás}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$

d) **Probabilidade de a carta ser de Copas E um Ás:** Há apenas uma carta que é de Copas E um Ás (o Ás de Copas).

    $P(\text{Copas} \cap \text{Ás}) = \frac{1}{52}$

e) **Probabilidade de a carta ser de Copas OU um Ás:** Usando a regra da adição para eventos não mutuamente exclusivos.

    $P(\text{Copas} \cup \text{Ás}) = P(\text{Copas}) + P(\text{Ás}) - P(\text{Copas} \cap \text{Ás})$
    $P(\text{Copas} \cup \text{Ás}) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$

  1. Seleção de Pessoas:

    Em um grupo de 15 pessoas, 8 são homens e 7 são mulheres. Duas pessoas são selecionadas aleatoriamente sem reposição.

    1. Qual o número total de maneiras de selecionar 2 pessoas? (Dica: A ordem da seleção não importa aqui, mas para fins de espaço amostral, podemos considerar os pares ordenados e ajustar a contagem de eventos, ou pensar em combinação, que será vista na próxima aula, mas o conceito de arranjo pode ser adaptado para pensar nos pares de pessoas). Para esta aula, vamos considerar a ordem importa para o espaço amostral para fins de aplicação de arranjo, e então focar na probabilidade de eventos específicos.
    2. Qual a probabilidade de ambas serem mulheres?
    3. Qual a probabilidade de ser um homem e uma mulher (nessa ordem)?
    4. Qual a probabilidade de ser um homem e uma mulher (em qualquer ordem)?
*   Total de pessoas $n=15$. Queremos selecionar $k=2$.

a) **Número total de maneiras de selecionar 2 pessoas:**

    Como a ordem importa (para usar arranjo, pensando em "primeira pessoa", "segunda pessoa"), usamos Arranjo Simples.
    $N = A_{15}^2 = \frac{15!}{(15-2)!} = \frac{15!}{13!} = 15 \times 14 = 210$ maneiras.

b) **Probabilidade de ambas serem mulheres:**

    * Número de mulheres = 7.
    * Número de maneiras de selecionar 2 mulheres (ordem importa): $A_7^2 = \frac{7!}{(7-2)!} = \frac{7!}{5!} = 7 \times 6 = 42$ maneiras.
    
    $P(\text{Ambas Mulheres}) = \frac{42}{210} = \frac{1}{5} = 0.2$

c) **Probabilidade de ser um homem e uma mulher (nessa ordem):**

    *   Primeira pessoa é homem: 8 opções.
    *   Segunda pessoa é mulher: 7 opções.
    *   Número de maneiras: $8 \times 7 = 56$ maneiras.
    
    $P(\text{Homem, Mulher}) = \frac{56}{210} = \frac{4}{15} \approx 0.267$

d) **Probabilidade de ser um homem e uma mulher (em qualquer ordem):**

    Isso significa (Homem e depois Mulher) OU (Mulher e depois Homem).

    *   Homem e depois Mulher: 56 maneiras (calculado acima).
    *   Mulher e depois Homem: $7 \times 8 = 56$ maneiras.
    *   Total de maneiras: $56 + 56 = 112$ maneiras.
    
    $P(\text{Um Homem e uma Mulher}) = \frac{112}{210} = \frac{8}{15} \approx 0.533$

Referências Bibliográficas

BUSSAB, Luiz O. de M.; MORETTIN, Pedro A. Estatı́stica Básica. 9. ed. São Paulo: Saraiva, 2017.
MAGALHÃES, Marcos N.; LIMA, Antonio C. P. de. Noções de Probabilidade e Estatı́stica. 7. ed. São Paulo: Edusp, 2013.
TRIOLA, Mario F. Introdução à Estatı́stica. 12. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017.